引力波天文I：波源概述

引力波天文系列文章将介绍引力波能观测到什么，如何观测，以及基本的数据分析方法。侧重于引力波的空间探测和分析，但核心的测量原理、仪器响应以及数据分析方法基本都是通用的。

• 研究目标：波源概述(基本波源及频谱划分)
• 探测技术：响应与灵敏度、空间探测技术
• 数据分析：数据分析方法、数据分析实践

本文首先介绍引力波能观测什么，即常见的科学目标。

基本科学目标

Space Detectors of GW( Fulvio Ricci , Massimo Bassan)

爆发源：大质量双黑洞并和MB
连续源：双中子星、双白矮星、恒星级双黑洞、极端质量比旋近
随机背景：双白矮星背景、宇宙学背景

规范投影

取坐标轴$z$方向沿波源传播方向为$\hat{k}$，$x, y$沿$+$模式伸缩方向，
TT规范下的引力波，可由$h_{\mu\nu}$的空间分量投影得到

$$h_{ij}^{TT} = \Lambda_{ij,kl} h_{kl} = \Lambda_{ij,kl} \bar{h}_{kl}$$

$$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}, ~~~ h = \eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}, ~~~ \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h$$

在波源参考系中，偏振方向如何确定？

$$\Lambda_{ab, cd}(\hat{k}) = \delta_{ac}\delta_{bd} - \frac{1}{2}\delta_{ab}\delta_{cd} - (k_{a}k_{c}\delta_{bd} - k_{b}k_{d}\delta_{ac}) + \frac{1}{2}(k_{a}k_{b}\delta_{cd} + k_{c}k_{d}\delta_{ab}) + \frac{1}{2}k_{a}k_{b}k_{c}k_{d}$$

虽然计算波源参考系的波形时，标架可以任意取！对于致密双星系统，$z$方向通常沿轨道角动量方向，$x, y$
但得到的TT规范下的波形是经过投影的，即要经过坐标系变换，变换后的坐标系才是真正从数据中反推出的波源参考系的标架。

对于沿$z$方向传播的引力波，在一般的任意$xy$坐标方向下：

$$\bar{h}_{cd} = \frac{1}{r}\frac{2G}{c^4}\ddot{M}_{cd}, ~~~~~ h_{ab}^{TT} = \Lambda_{ab,cd} \bar{h}_{cd}$$

${M}_{cd}$ 是能量密度 $T^{00}/c$ 的二阶矩，在弱场、低速近似下等于质量的密度$\rho$，从而$M_{cd} = \displaystyle \int d^3\vec{x} \rho(t, \vec{x}) x_a x_b$。质量四极矩定义为质量(密度)二阶矩的无迹分量，考虑到无迹的投影算符，最终只有这部分会贡献到TT规范下的引力波。物理上，质量二阶矩包含物质的对称和非对称分布贡献，四极矩则只反映质量的非对称分布。对于沿$z$方向传播的引力波信号，投影到TT规范下有：

$$\begin{aligned} h_{+} &= \frac{1}{r}\frac{G}{c^4}\left(\ddot{M}_{11} - \ddot{M}_{22}\right)\\ h_{\times} &= \frac{2}{r}\frac{G}{c^4}\ddot{M}_{12} \end{aligned}$$

这里$M_{ab}$定义在投影前的任意坐标下。

投影到TT规范后，指标$ab$，即$x, y$方向是与$+$极化模式方向一致的！如果$x, y$绕$z$轴转$\phi$角，则将引入偏振角

结论：经过TT规范投影后，在波源参考系中，对$z$方向传播的引力波，$+$模式偏振方向与$x,y$坐标轴一致。其它任意方向，$+$偏振模式沿球坐标的经纬线方向！

对于一般方向传播的引力波，可以通过坐标系旋转得到，此时$+$偏振方向

对于沿$z$方向震荡的质量，

双星旋近

对于圆轨道双星系统，取轨道平面为 $xy$ 平面，质心坐标系下的等效单体(equivalent one-body)或相对坐标下：

$$\footnotesize \begin{aligned} x_1(t) &= R \cos \phi_s (t)\\ x_2(t) &= R \sin \phi_s (t) \\ x_3(t) &= 0 \end{aligned} ~\xrightarrow{M_{ij} = \mu x_i x_j}~ \begin{aligned} M_{11} &= \mu R^2 \frac{1+\cos 2\phi_s (t)}{2}\\ M_{22} &= \mu R^2 \frac{1-\cos 2\phi_s (t)}{2}\\ M_{12} &= \mu R^2 \frac{1}{2} \sin 2\phi_s (t) \end{aligned} ~\xrightarrow[\ddot{\phi} \ll \dot{\phi}^2]{\phi \equiv 2\phi_s}~ \begin{aligned} \ddot{M}_{11} &= -\frac{1}{2} \mu R^2 \dot{\phi}^2 (t)\cos \phi (t)\\ \ddot{M}_{22} &= \frac{1}{2} \mu R^2 \dot{\phi}^2 (t)\cos \phi (t)\\ \ddot{M}_{12} &= -\frac{1}{2} \mu R^2 \dot{\phi}^2 (t)\sin \phi (t) \end{aligned}$$

其中$R$为相对坐标系下的轨道半径(双星间距离)，$\mu=\frac{m_1 m_2}{M}$ 为约化质量。$\phi_s$ 为轨道相位，$\phi=2\phi_s$。这里假设 $\ddot{\phi} \ll \dot{\phi}^2$，忽略了 $\ddot{\phi}$ 项。由前面规范投影结果，沿 $z$ 方向传播的引力波在TT规范下为：

$$\begin{aligned} h_+ &= \frac{1}{r} \frac{G}{c^4} (\ddot{M}_{11} - \ddot{M}_{22}) = -\frac{1}{r} \frac{G}{c^4} \mu R^2 \dot{\phi}^2 (t)\cos \phi (t) = -h_0 \cos \phi (t)\\ h_\times &= \frac{2}{r} \frac{G}{c^4} \ddot{M}_{12} = -\frac{1}{r} \frac{G}{c^4} \mu R^2 \dot{\phi}^2 (t)\sin \phi (t) = - h_0 \sin \phi (t) \end{aligned}$$

$+$ 与 ${\times}$模式相位相差 $\bm{\frac{\pi}{2}}$，且引力波相位为轨道相位2倍$\phi=2\phi_s$，频率对应也是轨道频率的2倍。注意，这里负号可通过重新选择时间(相位)起点吸收，$\phi(t) \rightarrow \phi(t)+\pi$ 即可。对于振幅$h_0$，引入$M_c \equiv \mu^{3/5} M^{2/5}$，考虑到开普勒轨道$R \omega^2_s = \frac{G M}{R^2}$：

$$h_0 = \frac{1}{r} \frac{G}{c^4} \mu R^2 \omega_{\rm gw}^2 = \frac{1}{r} \frac{G}{c^4} \mu (4G M \omega_{\rm gw})^{2/3} = \frac{c}{r}\left(\frac{G M_c}{c^3}\right)^{5/3}\left(8 \pi f_{\rm gw}\right)^{2/3}$$

一般地，对于任意方向$\theta, \varphi$(波源参考系)

$$\begin{aligned} h_+(t; \theta, \phi) &= h_0(t) \frac{1+\cos^2\theta}{2} \cos[\phi(t) + 2\varphi]\\ h_\times(t; \theta, \phi) &= h_0(t) \cos\theta \sin[\phi(t) + 2\varphi] \end{aligned}$$

这里$\varphi$角同样可通过选择合适的时间起点消除，相当于在波源参考系中将指向观测者的方向作为$\varphi$的起始方向。对于观测者而言，所接收到的只有沿视线方向传播的引力波，此时$\theta$角对应轨道轴向与视线方向夹角(轨道平面相对天球面倾角)$\iota$。最终对于观测者而言，接收到的引力波：

$$\begin{aligned} h_+(t) &= h_0(t_{\rm ret}) \frac{1+\cos^2\iota}{2} \cos\left[\phi(t_{\rm ret})\right]\\ h_\times(t) &= h_0(t_{\rm ret}) \cos\iota \sin\left[\phi(t_{\rm ret})\right]\\ \end{aligned}$$

其中$t_{\rm ret} = t - \frac{d_L}{c}$为延迟时间。当视线方向与轨道平面平行，$\iota=\frac{\pi}{2}$，此时$h_\times$分量为0，对应于电磁波的线偏振。当视线方向与轨道平面垂直，$\iota=0, \pi$，此时$h_+, h_\times$分量振幅相等，同时考虑到两种模式相位不同，对应电磁波的圆偏振。一般情况下，$h_+, h_\times$振幅不等，引力波为椭圆偏振，两种偏振振幅相对大小，对应于轴比(axial ratio)，完全由轨道倾角决定$\left|\frac{1+\cos^2\iota}{2\cos\iota}\right|$。注意$|\frac{1+\cos^2\iota}{2\cos\iota}| =\small\sqrt{1+\left(\frac{\sin\iota\tan\iota}{2}\right)^2} \ge 1$，即$+$模式振幅始终比$\times$模式大。此外，由于$+$分量相位比$\times$分量相位延迟$\frac{\pi}{2}$，从观测者指向波源，椭圆偏振为逆时针/左手？。注意，当轴向

粒子物理约的定，左右手基于自旋方向与传播方向定义，以传播方向为轴向，
因此看向波源时逆时针旋转对应右手，而IAU的约定是基于面对波源的旋转方向与指向波源的轴向，因此逆时针旋转对应左手。虽然都是以看向波源时的旋转方向为基准，但轴向刚好相反。
粒子物理左右手是以传播方向为轴向，IAU则是以看向波源的视线方向(传播的反方向)为轴向。幅角定义IAU是逆时针旋转，CMB中则通常用顺时针旋转。
clockwise or right-handed circular polarization (RHCP) in which the electric field vector rotates in a right-hand sense with respect to the direction of propagation
counter-clockwise or left-handed circular polarization (LHCP) in which the vector rotates in a left-hand sense.
逆时针/左手

考虑到引力波在膨胀宇宙中的传播，

$$h_0(t) = \frac{c}{d_L}\left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{5/3}\bigl[8 \pi f(t)\bigr]^{2/3}$$

这里$f = \frac{1}{1+z}f_{\rm\tiny GW}$为包含了红移的引力波观测频率，$d_L$为波源的光度距离， $\mathcal{M}_c=(1+z)M_c$ 为考虑了红移的啁啾质量。

演化波形

引力波所携带的能动张量 $t^{\mu\nu} = \frac{c^2}{32\pi G} \langle \partial_\mu\dot{h}_{\alpha\beta} \partial_\nu\dot{h}^{\alpha\beta}\rangle$，其中能量密度

$$t^{00} = \frac{c^2}{32\pi G}\left\langle \dot{h}_{ij} \dot{h}^{ij}\right\rangle = \frac{c^2}{16\pi G}\left\langle \dot{h}_+^2 + \dot{h}_\times^2\right\rangle$$

远离波源时，由能量守恒，引力波辐射的径向能流密度就等于$c t^{00}$，从而辐射功率

$$P = \int dA ~ c t^{00} = \frac{c^3}{16\pi G} \int r^2 d\Omega \left\langle \dot{h}_+^2 + \dot{h}_\times^2\right\rangle$$

代入双星引力波信号$h_+(t; \theta,\varphi), h_\times(t; \theta,\varphi)$，忽略 $\ddot{\phi}$ 项：

$$P = \frac{c^3}{16\pi G} ~ r^2~ h_0^2~\dot{\phi}^2 \int d\Omega ~ g(\theta) = \frac{c^3}{5G} ~ r^2~h_0^2~\dot{\phi}^2$$

其中 $g(\theta) = \left(\frac{1+\cos^2\theta}{2}\right)^2 + \cos^2\theta$ 对应功率的角分布，仅由 $\theta$ 决定，与 $\varphi$ 无关。
另一方面，双星系统总能量$E = -\frac{G m_1 m_2}{2R}$。由能量守恒$P = -\dot{E}$：

$$\dot{\omega}_{\rm gw} = \frac{12}{5} 2^{1/3} \left(\frac{GM_c}{c^3}\right)^{5/3} \omega_{\rm gw}^{11/3}$$

双星波形的演化由此决定，变为观测频率有：

$$\dot{f} = \frac{96}{5} \pi^{8/3} \left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{5/3} f^{11/3}$$

频率演化发散，频率无穷处对应并和，记为$t_c$。

$$f(t) = \frac{1}{8\pi} \left(\frac{t_c -t}{5}\right)^{-3/8}\left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-5/8}$$

频率演化仅依赖$t_c - t$，即并和时间(time to merger)，记为$\tau$。
相位 $\phi = \phi_c - 2\pi \int_{t}^{t_c} f dt'$ 作为 $\tau$ 和 $f$ 的函数分别为：

$$\begin{aligned} \phi(\tau) &= \phi_c - 2\pi \int_{\tau}^{0} f(\tau') d\tau' =\\ &= \phi_c - 2\pi \int_{f}^{f_c} f'/\dot{f}' df'= \phi_c - 2 \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3} 8\pi f\right)^{-5/3}\\ \end{aligned}$$

振幅

$$h_0(\tau) = \frac{c}{d_L}\left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{5/4}\left[8\pi f(\tau)\right]^{-1/4}$$

对双星的时域引力波信号 $h_0(t) e^{i\phi(t)}$ 进行傅里叶变换，利用稳相近似 (Stationary Phase Approximation, SPA) 求解可得到

$$\begin{aligned} \tilde{h}(f) &= \tilde{h}_0(f) e^{-i\Psi(f)}\\ \tilde{h}_0(f) &= \frac{1}{\pi^{2/3}} \left(\frac{5}{24}\right)^{1/2} \frac{c}{d_L} \left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{5/6} f^{-7/6}\\ \Psi(f) &= 2 \pi f t_c - \phi_c + \frac{3}{4} \left( \frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}8\pi f\right)^{-5/3} - \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

对应到TT规范下两个偏振分量的频域波形

$$\begin{aligned} \tilde{h}_+(f) &= \tilde{h}_0(f) \frac{1+\cos^2\iota}{2} e^{i\Psi(f)}\\ \tilde{h}_\times(f) &= \tilde{h}_0(f) \cos\iota ~ e^{i\left[\Psi(f)+\frac{\pi}{2}\right]}\\ \end{aligned}$$

这里也可看到 $h_+$ 与 $h_\times$ 相位相错 $\frac{\pi}{2}$。

稳相近似
快速震荡的积分，稳相近似(驻相法/鞍点法) Maggiore P296

一方面积分是截断到并和时间$t_c$(对应$f_{\rm ISCO}$)，$t_c$之后是没有意义的。其次，在$h_0(t_c)$是发散的

傅里叶变换要求积分收敛，

直观看似乎没法计算。考虑到指数部分的虚部，被积函数是高度震荡，且随着频率增加震荡加快，$h_0(t)$发散时，由于快速震荡积分抵消。事实上对于这种快速震荡的积分，数学上可以使用稳相近似：最终的积分事实上仅由稳相点附近积分决定，其余分布全部震荡抵消。

进行稳相近似，需要找到相位的稳定点(stationary point)，数学上对应于相位一阶导为零。注意，这里“相位”不是引力波的相位$\phi(t)$，而是被积函数在数学上的相位(e指数虚部)，即$2\pi f t - \phi(t_{\rm ret})$。

傅里叶积分

$$I(x) = \int_a^b f(t)e^{i x \psi(t)} dt$$

如果在积分区间内$\dot{\psi}(t) \neq 0$，即没有稳相点，可使用分部积分：

$$I(x) = \int_a^b f(t) \frac{1}{i x \psi'(t)} d \left[e^{i x \psi(t)}\right] = \frac{1}{i x} \frac{f(t)}{\psi'(t)} e^{i x \psi(t)} \Big|_a^b - \frac{1}{i x} \int_a^b \frac{d}{dt} \left[\frac{ f(t) }{\psi'(t)}\right] e^{i x \psi(t)} dt$$

其中前一项$\sim \frac{1}{x}$，后一项形式上仍是傅里叶积分，考虑到前面的$\frac{1}{x}$，整体上$\sim \frac{1}{x^2}$。当$x \rightarrow \infty$时，可用前一项作为近似。

如果在积分区间内，存在稳相点$t_*$，使得$\dot{\psi}(t_*) = 0$，则上述结果发散，因此需要对稳相点附近区域单独讨论。此时可以在稳相点邻域$[t-\epsilon, t+\epsilon]$对$\psi(t)$做展开：

$$\begin{aligned} \int_{t_*-\epsilon}^{t_*+\epsilon} f(t)e^{i x \psi(t)} dt &\approx \int_{t_*-\epsilon}^{t_*+\epsilon} f(t)e^{i x [\psi(t_*) + \psi'(t_*)(t-t_*) + \frac{1}{2}\psi''(t_*)(t-t_*)^2]} dt\\ &\approx f(t_*)e^{i x \psi(t_*)} \int_{t_*-\epsilon}^{t_*+\epsilon} e^{i x \frac{1}{2}\psi''(t_*)(t-t_*)^2} dt\\ &= f(t_*)e^{i x \psi(t_*)} \sqrt{\small \frac{2}{x |\psi''(t_*)|}} \int_{\epsilon\tiny\sqrt{x \frac{1}{2}|\psi''(t_*)|}}^{-\epsilon\tiny\sqrt{x \frac{1}{2}|\psi''(t_*)|}} e^{i ~ {\rm sign}[\psi''(t_*)] ~ \tau^2} d\tau \end{aligned}$$

当$x\rightarrow\infty$，积分部分趋向于$\int_{-\infty}^{\infty} e^{\pm i \tau^2} d\tau = \sqrt{\pi}e^{\pm i\frac{\pi}{4}}$，因此最终有：

$$\int_{t_*-\epsilon}^{t_*+\epsilon} f(t)e^{i x \psi(t)} dt \approx f(t_*)e^{i x \psi(t_*)} \frac{1}{\sqrt{x}} \sqrt{\small \frac{2\pi}{|\psi''(t_*)|}} e^{i ~ {\rm sign}[\psi''(t_*)] ~ \frac{\pi}{4}} \sim O\left(x^{-\frac{1}{2}}\right), x\rightarrow\infty$$

即，当$x\rightarrow\infty$，在稳相点附近的渐近行为是$O\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$，而稳相点之外的区域，根据前面的讨论是$O\left(x^{-1}\right)$。整体积分最终将有稳相点附近结果主导，从而计算积分时可只考虑稳相点处结果，被称为稳相近似。

注意，上述讨论中$f(t_*)$不能取0，当$f(t_*)=0$，分部积分中$\frac{f(t)}{\psi'(t)}$可能就不发散了，需要具体讨论。此外还需要假设$\psi''(t_*)$存在且不为零，当$\psi''(t_*)$也为零时，只需要将相位展开到更高阶，可以得到类似结论，且此时稳相点附近渐近衰减的更慢，$O\left(x^{-\frac{1}{3}}\right)$或更高。最后，当积分区间存在多个稳相点时，利用分段积分，对每个稳相点分别计算，全部求和即可。

振幅$h_0(t)$ ? $\log h_0(t)$? 相对相位$2\pi f t - \phi(t)$变化缓慢
画$2\pi f t - \phi(t)$的图
Finn & Chernoff 1993, Culter & Flanagan 1994给了条件，但没有任何解释条件的引入原因

$$\dot{\ln h_0(t)} \ll \dot{\Phi}(t), \ddot{\Phi}(t) \ll \dot{\Phi}(t)^2$$

$$\dot{\ln h_0(t)} = \frac{\dot{h_0}(t)}{h_0(t)}, \dot{\Phi}(t) = 2\pi f - \dot{\phi}(t), \ddot{\Phi}(t) = \ddot{\phi}(t)$$

---

$$\tilde{h}(f) = \int h_0(t) \cos[\phi(t)] e^{-i 2 \pi f t} dt$$

$\cos[\phi(t)] = \frac{1}{2} \left[e^{i\phi(t)} + e^{-i\phi(t)}\right]$，对应被积函数相位 $\Phi(t)= \pm\phi(t)-2\pi f t$，考虑正频率部分，$\dot{\phi}>0, f>0$，仅前一项存在稳相点。事实上，从解析信号角度理解，在 $f>0$ 区间，直接有$\mathcal{F}\left\{\cos[\phi(t)]\right\} = \frac{1}{2}\mathcal{F}\left\{e^{i\phi(t)}\right\}$。

$$\tilde{h}(f) = \frac{1}{2} \int h_0(t) e^{i\phi(t)} e^{-i 2 \pi f t} dt$$

被积函数相位$\Phi(t)=\phi(t)-2\pi f t$，在稳相点$\dot{\Phi}(t_*) = \dot{\phi}(t_*)-2\pi f = 0$附近展开有

$$\begin{aligned} \tilde{h}(f) &\approx \frac{1}{2} h_0(t_*) e^{i[\phi(t_*)-2 \pi f t_*]} \int e^{i\frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2}(t - t_*)^2} dt\\ &= \frac{1}{2} h_0(t_*) e^{i[\phi(t_*)-2 \pi f t_*]} \left[\textstyle \frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2}\right]^{-1/2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ix^2} dx\\ &= \frac{1}{2} h_0(t_*) e^{i[\phi(t_*)-2 \pi f t_*]} \left[\textstyle \frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2\pi}\right]^{-1/2} e^{i\frac{\pi}{4}}\\ \end{aligned}$$

从而稳相近似SPA下有

$$\begin{aligned} \tilde{h}(f) &= \tilde{h}_0(f) e^{-i\Psi(f)}\\ \tilde{h}_0(f) &\equiv \frac{1}{2} \frac{h_0(t_*)}{\sqrt{\ddot{\phi}(t_*){\big /}(2\pi)}} = \frac{1}{2} \frac{h_0(t_*)}{\sqrt{\dot{f}(t_*)}}\\ \Psi(f) &\equiv 2 \pi f t_* - \phi(t_*) - \frac{\pi}{4}\\ \end{aligned}$$

考虑到$\dot{\phi}(t)=2\pi f(t)$，有$f(t_*)= f$，即稳相点$t_*$就是频率$f$所对应时间。

$$\begin{aligned} h_0(t_*) & = h_0[t(f)] = \textstyle 4 \frac{c}{d_L} \pi^{2/3} \left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{5/3} f^{2/3}\\ \dot{f}(t_*) &= \dot{f} = \textstyle \frac{96}{5} \pi^{8/3} \left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{5/3} f^{11/3}\\ t_* &= t(f) = \textstyle t_c - 5 ~ (8\pi f)^{-8/3} \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-5/3}\\ \phi(t_*) &= \phi[t(f)] = \textstyle \phi_c - 2 ~ \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3} 8\pi f\right)^{-5/3} \end{aligned}$$

代入即可得到稳相近似的频域波形。这里直接将$h_0(t)\cos[\phi(t)]$作为观测波形，如果将其视为波源处波形，观测者$t$时刻接收到的信号$h(t) = h_0(t_{\rm ret}) \cos[\phi(t_{\rm ret})]$

$$\begin{aligned} \tilde{h}(f) &= \frac{1}{2}\int h_0(t_{\rm ret}) e^{i\phi(t_{\rm ret})} e^{-i 2 \pi f t} dt = \frac{1}{2}e^{-i 2 \pi f d_L} \int h_0(t') e^{i\phi(t')} e^{-i 2 \pi f t'} dt'\\ \end{aligned}$$

积分形式上与之前相同，区别仅在于此处$t'$是推迟时间(retarded time)。相应的，稳相点时间$t_*$也是推迟时间，$t_c$对应为并和的推迟时间，同时相位多了变为 $\frac{d_L}{c}$ 项：

$$\textstyle \Psi(f) = 2 \pi f (t_c + \frac{d_L}{c}) - \phi_c + \frac{3}{4} \left( \frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}8\pi f\right)^{-5/3} - \frac{\pi}{4}$$

这是 Maggiore (2007) 书中的形式，注意这里 $t_c$ 为并和对应的推迟时间，$t_c + \frac{d_L}{c}$ 才是观测的并和时间，与上面结果是一致。

• $$\tilde{h}_0(f) = \frac{1}{2}h_0\left[t(f)\right] \dot{f}^{-1/2}, ~~~~~ \tilde{h}^2_0(f) df = \frac{1}{4}h^2_0(t) dt$$

• 注意频谱的幅度$\tilde{h}_0(f)$随频率并不是增加的，而是减少的！因为旋近阶段，系统在低频演化更缓慢，随着频率增加演化变快，总体上在低频的谱密度(单位频率的能量)更大。并和时上述近似不成立，根据数值相对论，$\tilde{h}_0(f)$可能有小幅抬升，之后快速下降。

注意频域波形/频谱为复数$A(f)e^{i\Phi(f)}$：

• 从实部虚部理解：实部虚部分别对应信号对称及反称部分$\frac{x(t) + x(-t)}{2}, \frac{x(t) - x(-t)}{2}$。单看频谱的实部或虚部都是随频率高度震荡的，但这个震荡意义不大??，更物理的角度是基于模长辐角理解。
• 从模长辐角理解：模长$A(f)$代表不同频率成分的幅值，而辐角$\Phi(f)$代表不同对应频率成分的初始相位。将所有频率成分以幅谱为权重、相谱为相位偏移，进行叠加就可得到对应的时域信号。

• 在参数推断时，频域波形的震荡可通过外差(Heterodyne)减缓，以加速计算。注意，外禀参数可单独处理，可忽略相位中对应震荡项$2 \pi f t_c$，仅处理内禀波形的震荡，即$\frac{3}{4}\left( \frac{G\mathcal{M_c}}{c^3} 8\pi f\right)^{-5/3}$（及更高阶修正）。
• 频域内禀波形的相位对频率 $f$ 求导得 $\tilde{f} = -5 \left(\frac{G\mathcal{M_c}}{c^3}\right)^{-5/3}(8\pi f)^{-8/3}$，这是波形在频域的震荡频率，其绝对值刚好等于信号并和时间$\tau$。即频域内禀波形震荡速度正比于并和时间，震荡频率跨度反比于并和时间。
• 从 $N_{\rm cyc}$ 角度理解，$d N_{\rm cyc} = dt/T = f dt$，单位频率区间$d N_{\rm cyc} = f/\dot{f}~df$。考虑到$f\sim \tau^{-3/8}, d\tau=-dt$，有$\dot{f}\sim f \tau^{-1}, ~~ f/\dot{f} \sim \tau$。由此单位频率区间内的$N_{\rm cyc}$正比于$\tau$，即频域内禀波形震荡速度正比于$\tau$。
• 注意：如果考虑外禀参数所引入的基准震荡频率$t_c$，频域波形的总体震荡实际上会时间增加，而非减少。

通常文献中绘制的频谱都是与模长对应的特征频谱$\tilde{h}_c(f)$，展示的是不同频率成分比重，而不关注各频率成分的相位偏移。但实际用到频域波形时，还是必须要要考虑辐角部分的，比如在在Fisher信息矩阵中？？：

$$\Gamma_{ij} = \left\langle \partial_{\theta_i} h | \partial_{\theta_j} h \right\rangle = \left\langle \partial_{\theta_i} A | \partial_{\theta_j} A \right\rangle + \left\langle A \partial_{\theta_i} \Phi | A \partial_{\theta_j} \Phi \right\rangle ???$$

后牛顿近似

post-Newtonian approximation

限制性后牛顿(“restricted” PN approximation)
忽略振幅修正，只考虑相位修正 Maggiore P296
从数学上，
从物理上，相位信息更重要

只考虑2倍轨道频率的项，忽略高阶谐频的贡献。

$$\begin{aligned} \Psi(f) &=\textstyle 2 \pi f(t_c+ \frac{d_L}{c}) - \phi_c -\frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}\left( \frac{G\mathcal{M_c}}{c^3} 8\pi f\right)^{-5/3}( 1 + x_{\rm\tiny PN})\\ x_{\rm\tiny PN} &= \small \left(\frac{3715}{756} + \frac{55}{9}\eta\right)x + 16\pi x^{3/2} + \left(\frac{15293365}{508032} + \frac{27145}{504}\eta + \frac{3085}{72}\eta^2 \right)x^2\\ x(f) &= \textstyle (1+z)^{2/3}\left(\frac{v}{c}\right)^2 = \left[\frac{G M (1+z)}{c^2}\frac{\pi f}{c}\right]^{2/3}; ~~ \eta = \frac{\mu}{M} = \frac{m_1 m_2}{M^2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \left|\tilde{h}(f)\right|^2 &= \left|\tilde{h}_0(f)\right|^2 g(\iota)\\ g(\iota) &= \textstyle \left(\frac{1+\cos^2\iota}{2}\right)^2 + \cos^2\iota\\ \left\langle g(\iota)\right\rangle_\iota &= \frac{1}{4\pi???} \int_0^{2\pi} g(\iota) d\iota = \frac{4}{5}??? \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} h_+(t) &= h_0(t_{\rm ret}) \frac{1+\cos^2\iota}{2} e^{i\phi(t_{\rm ret})}\\ h_\times(t) &= h_0(t_{\rm ret}) \cos\iota ~ e^{i\left[\phi(t_{\rm ret}) + \frac{\pi}{2}\right]} \end{aligned}$$

随机背景

波源频谱划分

• 甚高频：兆赫兹megahertz、吉赫兹gigahertz (Aggarwal et al. 2021)
  • 时标尺度：$10^5 \sim 10^{12}\rm Hz$
  • 引力波源：早期宇宙(随机背景)、天体等离子震荡、强子对撞机
  • 探测方案：【时空波动】小型激光干涉、光学悬浮传感器、体声波谐振器
    【电磁响应】逆GZ效应(磁转换)、Li-Baker探测器(增强磁转换)
• 高频：百赫兹hectohertz
  • 时标尺度：$10 \sim 10^5\rm Hz$，$0.01 {\rm ms} \sim 10 s$
  • 引力波源：致密双星并和、随机背景(早期宇宙/天体源)、恒星坍缩/超新星爆炸、中子星自旋
  • 探测方案：【激光干涉】aLIGO, adVirgo, KAGRA, CE, ET
• 中频：分赫兹decihertz
  • 时标尺度：$0.1 \sim 10\rm Hz$
  • 引力波源：
  • 探测方案：【空间激光干涉】：AMIGO, DECIGO, BBO
    【月球激光干涉】：LGWA, LION
    【重力梯度波动】：原子干涉MAGIS, ELGAR, AION, ZAIGA、扭摆天线TOBA、超导重力计SOGRO
• 低频：毫赫兹millihertz
  • 时标尺度：$0.1{\rm mHz} \sim 1\rm Hz$，$1 s \sim 3 ~ {\rm hours}$
  • 引力波源：
  • 探测方案：【激光干涉】LISA, Taiji, Tianqin
• ？低频：微赫兹microhertz
  • 时标尺度：$1 \sim 10^5\rm \mu Hz$
  • 引力波源：
  • 探测方案：【激光干涉】(地球轨道) ASTROD-GW, μAres
    【双星轨道共振】月球、卫星、脉冲双星
• 甚低频：纳赫兹nanohertz
  • 时标尺度：$\rm pc$尺度； $1 \sim 100~\rm nHz$, $100 ~ {\rm days} \sim 30 ~ {\rm years}$
  • 引力波源：
  • 探测方案：PTA, $\gamma$-ray PTA
• 极低频：飞赫兹femtohertz、皮赫兹picohertz
  • 时标尺度：$\rm Mpc \sim Gpc$(Hubble scale)； $10^{-17} \sim 10^{-10}~\rm Hz$
  • 引力波源：早期宇宙(随机背景)
  • 探测方案：CMB B-modes、Quasar proper motions

并和时标 v.s. 周期时标

$$\tau = 7.5 ~ {\rm days} \left(\frac{M_c}{M_\odot}\right)^{-5/3} \left(\frac{f}{1\rm Hz}\right)^{-8/3}$$

$$\tau = 9.4 s \left(\frac{M_c}{20M_\odot}\right)^{-5/3} \left(\frac{f}{10\rm Hz}\right)^{-8/3}$$

$$\tau = 1 ~ {\rm month} \left(\frac{M_c}{10^6M_\odot}\right)^{-5/3} \left(\frac{f}{0.1\rm mHz}\right)^{-8/3}$$

尺度、时标、频率

多波段多信使