引力波天文I：波源概述

引力波天文系列文章将介绍引力波能观测到什么，如何观测，以及基本的数据分析方法。侧重于引力波的空间探测和分析，但核心的测量原理、仪器响应以及数据分析方法基本都是通用的。

• 研究目标：波源概述(基本波源及频谱划分)
• 探测技术：响应与灵敏度、空间探测技术
• 数据分析：数据分析方法、数据分析实践

本文首先介绍引力波能观测什么，即常见的科学目标。

基本科学目标

Space Detectors of GW( Fulvio Ricci , Massimo Bassan)

爆发源：大质量双黑洞并和MB
连续源：双中子星、双白矮星、恒星级双黑洞、极端质量比旋近
随机背景：双白矮星背景、宇宙学背景

取坐标轴$z$方向沿波源传播方向为$\hat{k}$，$x,y$沿$+$模式伸缩方向，

$$h_{ij}^{TT} = \Lambda_{ij,kl} h_{kl}$$

在波源参考系中，偏振方向如何确定？

$$\Lambda_{ab, cd}(\hat{k}) = \delta_{ac}\delta_{bd} - \frac{1}{2}\delta_{ab}\delta_{cd} - (k_{a}k_{c}\delta_{bd} - k_{b}k_{d}\delta_{ac}) + \frac{1}{2}(k_{a}k_{b}\delta_{cd} + k_{c}k_{d}\delta_{ab}) + \frac{1}{2}k_{a}k_{b}k_{c}k_{d}$$

虽然计算波源参考系的波形时，标架可以任意取！对于致密双星系统，$z$方向通常沿轨道角动量方向，$x, y$
但得到的TT规范下的波形是经过投影的，即要经过坐标系变换，变换后的坐标系才是真正从数据中反推出的波源参考系的标架。

对于沿$z$方向传播的引力波，在一般的任意$xy$坐标方向下：

$$h_{cd} = \frac{1}{r}\frac{2G}{c^4}\ddot{M}_{cd}(t-r/c)$$

投影到TT规范下有：

$$h_{ab}^{TT} = \Lambda_{ab,cd} h_{cd}$$

$$\begin{aligned} h_{+} &= \frac{1}{r}\frac{G}{c^4}\left(\ddot{M}_{11} - \ddot{M}_{22}\right)\\ h_{\times} &= \frac{2}{r}\frac{G}{c^4}\ddot{M}_{12} \end{aligned}$$

这里$M_{11}$是TT规范投影前，即任意$xy$坐标下的量，如果投影前的坐标轴指向变化，$M_{cd}$会改变，直接带入上式结果不就变了吗？

投影到TT规范后，指标$ab$，即$x, y$方向是与$+$极化模式方向一致的！如果$x, y$绕$z$轴转$\phi$角，则将引入偏振角

结论：经过TT规范投影后，在波源参考系中，对$z$方向传播的引力波，$+$模式偏振方向与$x,y$坐标轴一致。其它任意方向，$+$偏振模式沿球坐标的经纬线方向！

对于一般方向传播的引力波，可以通过坐标系旋转得到，此时$+$偏振方向

对于沿$z$方向震荡的质量，

绕转信号(单频)
在波源参考系，

$$\begin{aligned} h_+(t; \theta, \phi) &= h_0 \frac{1+\cos^2\theta}{2} \cos(2\omega_s t_s + 2\phi)\\ h_\times(t; \theta, \phi) &= h_0 \cos\theta \sin(2\omega_s t_s + 2\phi)\\ h_0 &\equiv \frac{4G}{c^4} \frac{\mu R^2 \omega^2_s}{r} \end{aligned}$$

在波源参考系中引力波辐射是覆盖全天的，其中$\theta, \phi$为波源参考系中的倾角(inclination)和方位角(azimuth)，$\omega_s$为双星轨道运动角频率，$R$为轨道半径，$\mu=\frac{m_1 m_2}{M}$为约化质量，$r$为距离波源的距离。对于观测者而言，所接收到的只有沿视线方向传播的引力波，此时$\theta$角对应轨道轴向与视线方向夹角(轨道平面相对天球面倾角)$\iota$，而$\phi$角可通过选择合适的时间起点消除，相当于在波源参考系中将指向观测者的方向作为$\phi$的起始方向。考虑到对于开普勒轨道运动$R^2 \omega^2_s = {(G M \omega_s)}^{2/3}$，代入前面公式有：

$$h_0 = \frac{4G^{5/3}}{c^4} \frac{\mu M^{2/3} \omega_s^{2/3} }{r} = \frac{4}{r} \left(\frac{G M_c}{c^2}\right)^{5/3} \left(\frac{\omega_s}{c}\right)^{2/3}$$

其中$M_c = \mu^{3/5} M^{2/5}$为啁啾质量。注意，$h_+, h_\times$信号的角频率为$2\omega_s$，即引力波辐射频率为轨道旋转频率的2倍。将引力波频率记为$f$，同时考虑到引力波在膨胀宇宙中的传播，最终在观测者坐标系中：

$$\begin{aligned} h_+(t) &= h_0 \frac{1+\cos^2\iota}{2} \cos\left[\phi_c - 2\pi f (t_c-t)\right]\\ h_\times(t) &= h_0 \cos\iota \sin\left[\phi_c - 2\pi f (t_c-t)\right]\\ h_0 & = \frac{4}{d_L}\left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/3}\left(\frac{\pi f}{c}\right)^{2/3} \end{aligned}$$

这里$\iota$为轨道倾角，$t_c$为并和时刻的时间，$\phi_c$为对应的相位，$f = \frac{1}{1+z}f_{\rm\tiny GW}$为包含了红移的引力波观测频率，$d_L$为波源的光度距离， $\mathcal{M}_c=(1+z)M_c$ 为考虑了红移的啁啾质量。当视线方向与轨道平面平行，$\iota=\frac{\pi}{2}$，此时$h_\times$分量为0，对应于电磁波的线偏振。当视线方向与轨道平面垂直，$\iota=0, \pi$，此时$h_+, h_\times$分量振幅相等，同时考虑到两种模式相位不同，对应电磁波的圆偏振。一般情况下，$h_+, h_\times$振幅不等，引力波为椭圆偏振，两种偏振振幅相对大小，对应于轴比(axial ratio)，完全由轨道倾角决定$\left|\frac{1+\cos^2\iota}{2\cos\iota}\right|$。注意$|\frac{1+\cos^2\iota}{2\cos\iota}| =\small\sqrt{1+\left(\frac{\sin\iota\tan\iota}{2}\right)^2} \ge 1$，即$+$模式振幅始终比$\times$模式大。此外，由于$+$分量相位比$\times$分量相位延迟$\frac{\pi}{2}$，从观测者指向波源，椭圆偏振为逆时针/左手？。注意，当轴向

粒子物理约的定，左右手基于自旋方向与传播方向定义，以传播方向为轴向，
因此看向波源时逆时针旋转对应右手，而IAU的约定是基于面对波源的旋转方向与指向波源的轴向，因此逆时针旋转对应左手。虽然都是以看向波源时的旋转方向为基准，但轴向刚好相反。
粒子物理左右手是以传播方向为轴向，IAU则是以看向波源的视线方向(传播的反方向)为轴向。幅角定义IAU是逆时针旋转，CMB中则通常用顺时针旋转。

clockwise or right-handed circular polarization (RHCP) in which the electric field vector rotates in a right-hand sense with respect to the direction of propagation
counter-clockwise or left-handed circular polarization (LHCP) in which the vector rotates in a left-hand sense.
逆时针/左手

频域

并和信号(Chirp)
时域

$$\begin{aligned} h_+(t) &= h_0(t_{\rm ret}) \frac{1+\cos^2\iota}{2} \cos[\phi(t_{\rm ret})]\\ h_\times(t) &= h_0(t_{\rm ret}) \cos\iota \sin[\phi(t_{\rm ret})]\\ h_0(t) & = \frac{4}{d_L}\left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/3}\left[\frac{\pi f(t)}{c}\right]^{2/3}\\ f(t) &= \frac{1}{8\pi} \left(\frac{t_c -t}{5}\right)^{-3/8}\left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-5/8}\\ (t_c -t)^{5/8} &= 5^{5/8} (8\pi f)^{-5/3} \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-25/24}\\ \phi(t) &= \phi_c - 2\pi \int_{t}^{t_c} f(t) = \phi_c - 2(t_c -t)^{5/8}\left(5\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-5/8}\\ &= \phi_c - 2 \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3} 8\pi f\right)^{-5/3} \end{aligned}$$

其中$t_{\rm ret} = t - \frac{d_L}{c}$为延迟时间。

$$h_0(t) = \frac{1}{d_L}\left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/4}\left[\frac{c(t_c-t)}{5}\right]^{-1/4}$$

$\phi(t) = \phi(t_*) + \dot{\phi}(t_*)~(t - t_*) + \frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2}(t - t_*)^2 + ...$

稳相近似
快速震荡的积分，稳相近似(驻相法/鞍点法) Maggiore P296

一方面积分是截断到并和时间$t_c$(对应$f_{\rm ISCO}$)，$t_c$之后是没有意义的。其次，在$h_0(t_c)$是发散的

傅里叶变换要求积分收敛，

直观看似乎没法计算。考虑到指数部分的虚部，被积函数是高度震荡，且随着频率增加震荡加快，$h_0(t)$发散时，由于快速震荡积分抵消。事实上对于这种快速震荡的积分，数学上可以使用稳相近似：最终的积分事实上仅由稳相点附近积分决定，其余分布全部震荡抵消。

进行稳相近似，需要找到相位的稳定点(stationary point)，数学上对应于相位一阶导为零。注意，这里“相位”不是引力波的相位$\phi(t)$，而是被积函数在数学上的相位(e指数虚部)，即$2\pi f t - \phi(t_{\rm ret})$。

傅里叶积分

$$I(x) = \int_a^b f(t)e^{i x \psi(t)} dt$$

如果在积分区间内$\dot{\psi}(t) \neq 0$，即没有稳相点，可使用分部积分：

$$I(x) = \int_a^b f(t) \frac{1}{i x \psi'(t)} d \left[e^{i x \psi(t)}\right] = \frac{1}{i x} \frac{f(t)}{\psi'(t)} e^{i x \psi(t)} \Big|_a^b - \frac{1}{i x} \int_a^b \frac{d}{dt} \left[\frac{ f(t) }{\psi'(t)}\right] e^{i x \psi(t)} dt$$

其中前一项$\sim \frac{1}{x}$，后一项形式上仍是傅里叶积分，考虑到前面的$\frac{1}{x}$，整体上$\sim \frac{1}{x^2}$。当$x \rightarrow \infty$时，可用前一项作为近似。

如果在积分区间内，存在稳相点$t_*$，使得$\dot{\psi}(t_*) = 0$，则上述结果发散，因此需要对稳相点附近区域单独讨论。此时可以在稳相点邻域$[t-\epsilon, t+\epsilon]$对$\psi(t)$做展开：

$$\begin{aligned} \int_{t_*-\epsilon}^{t_*+\epsilon} f(t)e^{i x \psi(t)} dt &\approx \int_{t_*-\epsilon}^{t_*+\epsilon} f(t)e^{i x [\psi(t_*) + \psi'(t_*)(t-t_*) + \frac{1}{2}\psi''(t_*)(t-t_*)^2]} dt\\ &\approx f(t_*)e^{i x \psi(t_*)} \int_{t_*-\epsilon}^{t_*+\epsilon} e^{i x \frac{1}{2}\psi''(t_*)(t-t_*)^2} dt\\ &= f(t_*)e^{i x \psi(t_*)} \sqrt{\small \frac{2}{x |\psi''(t_*)|}} \int_{\epsilon\tiny\sqrt{x \frac{1}{2}|\psi''(t_*)|}}^{-\epsilon\tiny\sqrt{x \frac{1}{2}|\psi''(t_*)|}} e^{i ~ {\rm sign}[\psi''(t_*)] ~ \tau^2} d\tau \end{aligned}$$

当$x\rightarrow\infty$，积分部分趋向于$\int_{-\infty}^{\infty} e^{\pm i \tau^2} d\tau = \sqrt{\pi}e^{\pm i\frac{\pi}{4}}$，因此最终有：

$$\int_{t_*-\epsilon}^{t_*+\epsilon} f(t)e^{i x \psi(t)} dt \approx f(t_*)e^{i x \psi(t_*)} \frac{1}{\sqrt{x}} \sqrt{\small \frac{2\pi}{|\psi''(t_*)|}} e^{i ~ {\rm sign}[\psi''(t_*)] ~ \frac{\pi}{4}} \sim O\left(x^{-\frac{1}{2}}\right), x\rightarrow\infty$$

即，当$x\rightarrow\infty$，在稳相点附近的渐近行为是$O\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$，而稳相点之外的区域，根据前面的讨论是$O\left(x^{-1}\right)$。整体积分最终将有稳相点附近结果主导，从而计算积分时可只考虑稳相点处结果，被称为稳相近似。

注意，上述讨论中$f(t_*)$不能取0，当$f(t_*)=0$，分部积分中$\frac{f(t)}{\psi'(t)}$可能就不发散了，需要具体讨论。此外还需要假设$\psi''(t_*)$存在且不为零，当$\psi''(t_*)$也为零时，只需要将相位展开到更高阶，可以得到类似结论，且此时稳相点附近渐近衰减的更慢，$O\left(x^{-\frac{1}{3}}\right)$或更高。最后，当积分区间存在多个稳相点时，利用分段积分，对每个稳相点分别计算，全部求和即可。

振幅$h_0(t)$ ? $\log h_0(t)$? 相对相位$2\pi f t - \phi(t)$变化缓慢
画$2\pi f t - \phi(t)$的图
Culter & Flanagan 1994给了条件，但没有任何解释条件的引入原因

$$\dot{\ln h_0(t)} \ll \dot{\Phi}(t), \ddot{\Phi}(t) \ll \dot{\Phi}(t)^2$$

$$\dot{\ln h_0(t)} = \frac{\dot{h_0}(t)}{h_0(t)}, \dot{\Phi}(t) = 2\pi f - \dot{\phi}(t), \ddot{\Phi}(t) = \ddot{\phi}(t)$$

$$\begin{aligned} \tilde{h}_+(f) &= \int h_0(t) e^{i\phi(t)} e^{-i[2 \pi f (t - \frac{d_L}{c}]} dt\\ &= \int h_0(t) e^{i[\phi(t_*) + \dot{\phi}(t_*)~(t - t_*) + \frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2}(t - t_*)^2]} e^{-i[2 \pi f (t - \frac{d_L}{c}]} dt\\ &= h_0(t_*) e^{i\phi(t_*)} e^{-i[2 \pi f (t_* + \frac{d_L}{c})]} \int e^{i\frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2}(t - t_*)^2} dt\\ &= h_0(t_*) e^{i\phi(t_*)} e^{-i[2 \pi f (t_* + \frac{d_L}{c})]} \left[\textstyle \frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2}\right]^{-1/2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ix^2} dx\\ &= h_0(t_*) e^{i\phi(t_*)} e^{-i[2 \pi f (t_* + \frac{d_L}{c})]} \left[\textstyle \frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2\pi}\right]^{-1/2} e^{i\frac{\pi}{4}}\\ &= \tilde{h}_0(f) e^{-i\Psi(f)} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \tilde{h}_0(f) &\equiv \frac{1}{2} h_0(t_*)\left[\frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2\pi}\right]^{-1/2} \\ \Psi(f) &= 2 \pi f (t_* + {\textstyle \frac{d_L}{c}}) - \phi(t_*) - \frac{\pi}{4}\\ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \phi(f) &= \textstyle \phi_c - 2 ~ \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3} 8\pi f\right)^{-5/3}\\ t(f) &= \textstyle t_c - 5 ~ (8\pi f)^{-8/3} \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-5/3} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \tilde{h}_0(f) &= \frac{1}{2 ~c~ d_L} \left(\frac{5\pi}{6}\right)^{1/2} \left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/6} \left(\frac{\pi f}{c}\right)^{-7/6}\\ \Psi(f) &= \textstyle 2 \pi f (t_c + {\frac{d_L}{c}}) - \phi_c + \frac{3}{4} \left( \frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}8\pi f\right)^{-5/3} - \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} f(t) &= \frac{1}{8\pi} \left(\frac{t_c -t}{5}\right)^{-3/8}\left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-5/8}\\ \frac{t_c -t}{5} &= (8\pi f)^{-8/3} \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-5/3}\\ \phi(t) &= \phi_c - 2 \left[\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3} 8\pi f(t)\right]^{-5/3} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \phi(t) &= \phi(t_*) + \dot{\phi}(t_*)~(t - t_*) + \frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2}(t - t_*)^2 + ...\\ \dot{\phi}(t_*) &= 2 \pi f \\ \ddot{\phi}(t_*) &= 2 \pi \dot{f} = 2 \pi ~\frac{1}{5}~ \frac{3}{8} \left(\frac{t_c -t_*}{5}\right)^{-1} f = 64 \times \frac{3c}{5} \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/3} \left(\frac{\pi f}{c}\right)^{11/3} \end{aligned}$$

$$h_0(t_*) = \frac{4}{d_L}\left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/3}\left[\frac{\pi f}{c}\right]^{2/3}$$

$$\begin{aligned} \tilde{h}_0(f) &\equiv \frac{1}{2} h_0(t_*)\left[\frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2\pi}\right]^{-1/2} \\ &= \frac{1}{2} \frac{4}{d_L}\left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/3}\left(\frac{\pi f}{c}\right)^{2/3} \frac{1}{4c} \left(\frac{5\pi}{6}\right)^{1/2} \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{-5/6} \left(\frac{\pi f}{c}\right)^{-11/6} \\ &= \frac{1}{2 ~c~ d_L} \left(\frac{5\pi}{6}\right)^{1/2} \left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/6} \left(\frac{\pi f}{c}\right)^{-7/6} \end{aligned}$$

频域

$$\begin{aligned} \tilde{h}_+(f) &= \tilde{h}_0(f) \frac{1+\cos^2\iota}{2} e^{i\Psi(f)}\\ \tilde{h}_\times(f) &= \tilde{h}_0(f) \cos\iota ~ e^{i\left[\Psi(f)+\frac{\pi}{2}\right]}\\ \tilde{h}_0(f) &= \frac{1}{2 ~c~ d_L} \textstyle \left(\frac{5\pi}{6}\right)^{1/2} \left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/6} \left(\frac{\pi f}{c}\right)^{-7/6}\\ \Psi(f) & = \textstyle 2 \pi f(t_c+ {\textstyle \frac{d_L}{c}}) - \phi_c -\frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}\left( \frac{G\mathcal{M_c}}{c^3} 8\pi f\right)^{-5/3} \end{aligned}$$

注意频谱的幅度$|h(f)|$随频率并不是增加的，而是减少的！因为旋近阶段，系统在低频演化更缓慢，随着频率增加演化变快，总体上在低频的谱密度(单位频率的能量)更大。并和时上述近似不成立，利用数值相对论，$|h(f)|$可能有小幅抬升，最后快速下降。

注意频域波形/频谱为复数$A(f)e^{i\Phi(f)}$：

• 从实部虚部理解：实部虚部分别对应信号对称及反称部分$\frac{x(t) + x(-t)}{2}, \frac{x(t) - x(-t)}{2}$。单看频谱的实部或虚部都是随频率高度震荡的，但这个震荡意义不大，更物理的角度是基于模长辐角理解。
• 从模长辐角理解：模长$A(f)$代表不同频率成分的幅值，而辐角$\Phi(f)$代表不同对应频率成分的初始相位。将所有频率成分以幅谱为权重、相谱为相位偏移，进行叠加就可得到对应的时域信号。

通常文献中绘制的频谱都是与模长对应的特征频谱$\tilde{h}_c(f)$，展示的是不同频率成分比重，而不关注各频率成分的相位偏移。但实际用到频域波形时，还是必须要要考虑辐角部分的，比如在在Fisher信息矩阵中？？：

$$\Gamma_{ij} = \left\langle \partial_{\theta_i} h | \partial_{\theta_j} h \right\rangle = \left\langle \partial_{\theta_i} A | \partial_{\theta_j} A \right\rangle + \left\langle A \partial_{\theta_i} \Phi | A \partial_{\theta_j} \Phi \right\rangle ???$$

后牛顿近似(post-Newtonian approximation)

限制性后牛顿(“restricted” PN approximation)
忽略了振幅修正，只考虑相位修正 Maggiore P296
从数学上，
从物理上，相位信息更重要

只考虑2倍轨道频率的项，忽略高阶谐频的贡献。

“限制性”后牛顿近似：忽略了振幅修正，只考虑相位修正 Maggiore P296

$$$$

$$\begin{aligned} \Psi(f) &=\textstyle 2 \pi f(t_c+ \frac{d_L}{c}) - \phi_c -\frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}\left( \frac{G\mathcal{M_c}}{c^3} 8\pi f\right)^{-5/3}( 1 + x_{\rm\tiny PN})\\ x_{\rm\tiny PN} &= \small \left(\frac{3715}{756} + \frac{55}{9}\eta\right)x + 16\pi x^{3/2} + \left(\frac{15293365}{508032} + \frac{27145}{504}\eta + \frac{3085}{72}\eta^2 \right)x^2\\ x(f) &= \textstyle (1+z)^{2/3}\left(\frac{v}{c}\right)^2 = \left[\frac{G M (1+z)}{c^2}\frac{\pi f}{c}\right]^{2/3}; ~~ \eta = \frac{\mu}{M} = \frac{m_1 m_2}{M^2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \left|\tilde{h}(f)\right|^2 &= \left|\tilde{h}_0(f)\right|^2 g(\iota)\\ g(\iota) &= \textstyle \left(\frac{1+\cos^2\iota}{2}\right)^2 + \cos^2\iota\\ \left\langle g(\iota)\right\rangle_\iota &= \frac{1}{4\pi???} \int_0^{2\pi} g(\iota) d\iota = \frac{4}{5}??? \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} h_+(t) &= h_0(t_{\rm ret}) \frac{1+\cos^2\iota}{2} e^{i\phi(t_{\rm ret})}\\ h_\times(t) &= h_0(t_{\rm ret}) \cos\iota ~ e^{i\left[\phi(t_{\rm ret}) + \frac{\pi}{2}\right]} \end{aligned}$$

随机背景

波源频谱划分

• 甚高频：兆赫兹megahertz、吉赫兹gigahertz (Aggarwal et al. 2021)
  • 时标尺度：$10^5 \sim 10^{12}\rm Hz$
  • 引力波源：早期宇宙(随机背景)、天体等离子震荡、强子对撞机
  • 探测方案：【时空波动】小型激光干涉、光学悬浮传感器、体声波谐振器
    【电磁响应】逆GZ效应(磁转换)、Li-Baker探测器(增强磁转换)
• 高频：百赫兹hectohertz
  • 时标尺度：$10 \sim 10^5\rm Hz$，$0.01 {\rm ms} \sim 10 s$
  • 引力波源：致密双星并和、随机背景(早期宇宙/天体源)、恒星坍缩/超新星爆炸、中子星自旋
  • 探测方案：【激光干涉】aLIGO, adVirgo, KAGRA, CE, ET
• 中频：分赫兹decihertz
  • 时标尺度：$0.1 \sim 10\rm Hz$
  • 引力波源：
  • 探测方案：【空间激光干涉】：AMIGO, DECIGO, BBO
    【月球激光干涉】：LGWA, LION
    【重力梯度波动】：原子干涉MAGIS, ELGAR, AION, ZAIGA、扭摆天线TOBA、超导重力计SOGRO
• 低频：毫赫兹millihertz
  • 时标尺度：$0.1{\rm mHz} \sim 1\rm Hz$，$1 s \sim 3 ~ {\rm hours}$
  • 引力波源：
  • 探测方案：【激光干涉】LISA, Taiji, Tianqin
• ？低频：微赫兹microhertz
  • 时标尺度：$1 \sim 10^5\rm \mu Hz$
  • 引力波源：
  • 探测方案：【激光干涉】(地球轨道) ASTROD-GW, μAres
    【双星轨道共振】月球、卫星、脉冲双星
• 甚低频：纳赫兹nanohertz
  • 时标尺度：$\rm pc$尺度； $1 \sim 100~\rm nHz$, $100 ~ {\rm days} \sim 30 ~ {\rm years}$
  • 引力波源：
  • 探测方案：PTA, $\gamma$-ray PTA
• 极低频：飞赫兹femtohertz、皮赫兹picohertz
  • 时标尺度：$\rm Mpc \sim Gpc$(Hubble scale)； $10^{-17} \sim 10^{-10}~\rm Hz$
  • 引力波源：早期宇宙(随机背景)
  • 探测方案：CMB B-modes、Quasar proper motions

并和时标 v.s. 周期时标

$$\tau = 7.5 ~ {\rm days} \left(\frac{M_c}{M_\odot}\right)^{-5/3} \left(\frac{f}{1\rm Hz}\right)^{-8/3}$$

$$\tau = 9.4 s \left(\frac{M_c}{20M_\odot}\right)^{-5/3} \left(\frac{f}{10\rm Hz}\right)^{-8/3}$$

$$\tau = 1 ~ {\rm month} \left(\frac{M_c}{10^6M_\odot}\right)^{-5/3} \left(\frac{f}{0.1\rm mHz}\right)^{-8/3}$$

尺度、时标、频率

多波段多信使