代数

接前文代数结构简介，本文继续介绍代数，不同的是本文中代数特指域代数。
通常人们讲代数指的就是域代数或有单位元的域代数。
线性代数、域代数、多线性代数

域代数(Algebra over a Field)的概念是建立在域(Field)及线性空间概念之上的。
域：
线性空间V：线性空间即向量空间，是域F上的一个集合，其中定义了向量加法和标量乘法两种运算，向量加法满足结合律、交换律、单位元、可逆性，而标量乘法与标量的域乘法相容$a(bα) = (ab)α$、有单位元、对向量加法及标量的域加法满足分配律。

域代数

域代数是线性空间再加上一个双线性(bilinear)运算(乘法)^注1，是定义在特定域$K$上的，因此也称$K$-代数。具体的，域代数$A$是域$K$上的一个集合，其中定义了加法、乘法以及和域$K$中元素的标量乘法三种运算，满足线性空间及双线性的公理：$A$对于加法和标量乘法构成域$K$上的线性空间；乘法与加法满足左右分配率：$(α+β)·γ = α·γ + β·γ,\space\space γ·(α+β) = γ·α + γ·β$；乘法与标量乘法及标量的域乘法相容：$(aα)·(bβ) = (ab)(α·β)$。后面两条即乘法是双线性的。
这里乘法无需满足结合律、交换律、有单位元、逆元等公理。
(非)结合代数：根据乘法是否满足结合律可分为结合代数和非结合代数。比如三维欧氏空间中的叉乘就不满足结合律，而矩阵的乘法满足结合律。
酉代数：如果乘法有单位元，则称为酉(unital/unitary)。
很多时候，人们会直接用代数指代酉结合代数，或者酉交换结合代数(代数几何中)。

Replacing the field of scalars by a commutative ring leads to the more general notion of an algebra over a ring.

域代数的概念可以进一步扩展：
线性代数、域代数、多线性代数

具体实例

线性映射(linear mapping)是两个线性空间之间保持线性运算(加法和标量乘法)的映射$V → W$。当$V=W$，

is a mapping V → W between two modules (including vector spaces) that preserves (in the sense defined below) the operations of addition and scalar multiplication.

Linear transformations of V into V are often called linear operators on V

线性空间$V$加上内积得到的是内积空间而不是代数，因为这里的内积不满足封闭性，内积的结果属于域$K$而非线性空间$V$，因此不是代数$A$上的乘法。类似的，外积(张量积和楔积)也不满足封闭性，对于线性空间$V$：向量的张量积不属于$V$，但一定属于$T(V)$，因此$V$加上张量积不能构成代数，但空间$T(V)$加张量积构成张量代数；向量的楔积不属于$V$，但一定属于$Λ(V)$，因此$V$加上楔积不能构成代数，但空间$Λ(V)$加楔积构成外代数。

线性代数

线性映射(linear mapping)是从一个线性空间$V$到另一个线性空间$W$保线性(保持加法运算和数量乘法运算)的映射；而空间$V$到其自身的线性映射(满足封闭性)被称为线性变换(linear transformation)。线性空间加上线性变换构成线性代数。

线性泛函(一次型)

李代数

三维欧式空间中的叉乘，而对此的推广则是李代数。

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多重线性代数

多线性代数
multivector
p-vector
bivector

Linear Map $f: V \rightarrow W$
Multilinear Map f: V^n^ \rightarrow W $n=2$, bilinear; $n=3$, trilinear

外代数

张量代数

The tensor algebra T(V) is a functor from K-Vect, the category of vector spaces over K, to K-Alg, the category of K-algebras.
T(V) is the free algebra on V, in the sense of being left adjoint to the forgetful functor from algebras to vector spaces: it is the “most general” algebra containing V, in the sense of the corresponding universal property.
张量代数是从$K$上线性空间范畴到$K$-代数范畴的一个函子，是遗忘函子(K-代数$\rightarrow$线性空间)的左伴随，是$V$上的自由代数^wiki；其满足某些泛性质(universal property)，是包含$V$的最具一般性的代数。很多其他代数都可以通过构造张量代数的商(quotient)代数得到，如外代数、对称代数、克利福德代数、几何代数、外尔代数等。
外代数： $xy+yx=0 for all x,y∈V$
对称代数：运算$vw - wv$生成的理想的商
克利福德代数：
几何代数：
外尔代数：$vu - uv = ω(v,u)$

It is the quotient of the tensor algebra TV by the relation

克利福德(Clifford)代数

什么是克利福德代数：https://math.stackexchange.com/questions/261509/
1 scalar component
3 vector components
3 bivector components, which correspond to the 3 linearly independent planes in a 3d space
1 trivector or pseudoscalar component, which corresponds to the single, oriented unit volume in 3d space

几何代数(Geometric algebra)

是以统一模式生成的协变量代数。
数学是研究现实世界的"数"与"形"的科学.数学就是围绕这两个概念的演变而发展的,也通过这两个基本概念应用到各个不同的领域中去.代数是研究"数"的学科,几何是研究"形"的学科.数学科学发展的历程中两者彼此独立,又相互缠绕.几何(形)的概念用代数(数)表示,几何的目标可经过代数计算实现;反之,代数语言赋有了几何背景,可更加直观地理解它们的意义,发现它们的丰富内涵.吴文俊院士指出:几何代数化,在近代数学的兴起和发展过程中发挥着决定性的作用。
对于经典几何，有一类以统一模式生成的协变量代数，称为几何代数，它有四大基本成分：表示几何体的格拉斯曼结构；表示几何关系的克利福德乘法；表示几何变换的旋量或张量；表示几何量的括号。

多重线性映射(Multilinear)

covectors

[1]：(双)线性运算简单来说就是保持加法和标量乘法的运算。双线性运算特殊在它是二元运算，即二元线性运算：由于是二元运算，需要考虑左结合和右结合，对前后两个元都要是线性的，即双线性。
线性：$\quad f(x+y) = f(x) + f(y)$可加; $f(ax) = af(y)$齐次
　　　　或者合在一起 $f(ax+by) = af(x) + bf(y)$
双线性：$f(a_1x_1+a_2x_2, y) = a_1f(x_1,y) + a_2f(x_2,y)$
$\qquad\quad~f(x, b_1y_1+b_2y_2) = b_1f(x,y_1) + b_2f(x,y_2)$

https://www.zhihu.com/question/20695804/answer/43145198

代数：矢量代数、线性代数