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代数

接前文代数结构简介,本文继续介绍代数,不同的是本文中代数特指域代数
通常人们讲代数指的就是域代数或有单位元的域代数。
线性代数、域代数、多线性代数

域代数(Algebra over a Field)的概念是建立在(Field)及线性空间概念之上的。
域:
线性空间V:线性空间即向量空间,是域F上的一个集合,其中定义了向量加法和标量乘法两种运算,向量加法满足结合律、交换律、单位元、可逆性,而标量乘法与标量的域乘法相容a(bα)=(ab)αa(bα) = (ab)α、有单位元、对向量加法及标量的域加法满足分配律。

域代数

域代数是线性空间再加上一个双线性(bilinear)运算(乘法)注1,是定义在特定域KK上的,因此也称KK-代数。具体的,域代数AA是域KK上的一个集合,其中定义了加法、乘法以及和域KK中元素的标量乘法三种运算,满足线性空间及双线性的公理:AA对于加法和标量乘法构成域KK上的线性空间;乘法与加法满足左右分配率:(α+β)γ=αγ+βγ,  γ(α+β)=γα+γβ(α+β)·γ = α·γ + β·γ,\space\space γ·(α+β) = γ·α + γ·β;乘法与标量乘法及标量的域乘法相容:(aα)(bβ)=(ab)(αβ)(aα)·(bβ) = (ab)(α·β)。后面两条即乘法是双线性的。
这里乘法无需满足结合律、交换律、有单位元、逆元等公理。
(非)结合代数:根据乘法是否满足结合律可分为结合代数和非结合代数。比如三维欧氏空间中的叉乘就不满足结合律,而矩阵的乘法满足结合律。
酉代数:如果乘法有单位元,则称为酉(unital/unitary)。
很多时候,人们会直接用代数指代酉结合代数,或者酉交换结合代数(代数几何中)。

Replacing the field of scalars by a commutative ring leads to the more general notion of an algebra over a ring.

域代数的概念可以进一步扩展:
线性代数、域代数、多线性代数

具体实例

线性映射(linear mapping)是两个线性空间之间保持线性运算(加法和标量乘法)的映射VWV → W。当V=WV=W

is a mapping V → W between two modules (including vector spaces) that preserves (in the sense defined below) the operations of addition and scalar multiplication.

Linear transformations of V into V are often called linear operators on V

线性空间VV加上内积得到的是内积空间而不是代数,因为这里的内积不满足封闭性,内积的结果属于域KK而非线性空间VV,因此不是代数AA上的乘法。类似的,外积(张量积和楔积)也不满足封闭性,对于线性空间VV:向量的张量积不属于VV,但一定属于T(V)T(V),因此VV加上张量积不能构成代数,但空间T(V)T(V)加张量积构成张量代数;向量的楔积不属于VV,但一定属于Λ(V)Λ(V),因此VV加上楔积不能构成代数,但空间Λ(V)Λ(V)加楔积构成外代数

线性代数

线性映射(linear mapping)是从一个线性空间VV到另一个线性空间WW保线性(保持加法运算和数量乘法运算)的映射;而空间VV到其自身的线性映射(满足封闭性)被称为线性变换(linear transformation)。线性空间加上线性变换构成线性代数

线性泛函(一次型)

李代数

三维欧式空间中的叉乘,而对此的推广则是李代数。


多重线性代数

多线性代数
multivector
p-vector
bivector

Linear Map f:VWf: V \rightarrow W
Multilinear Map f: V^n^ \rightarrow W n=2n=2, bilinear; n=3n=3, trilinear

外代数

张量代数

The tensor algebra T(V) is a functor from K-Vect, the category of vector spaces over K, to K-Alg, the category of K-algebras.
T(V) is the free algebra on V, in the sense of being left adjoint to the forgetful functor from algebras to vector spaces: it is the “most general” algebra containing V, in the sense of the corresponding universal property.
张量代数是从KK上线性空间范畴到KK-代数范畴的一个函子,是遗忘函子(K-代数\rightarrow线性空间)的左伴随,是VV上的自由代数wiki;其满足某些泛性质(universal property),是包含VV的最具一般性的代数。很多其他代数都可以通过构造张量代数的商(quotient)代数得到,如外代数、对称代数、克利福德代数、几何代数、外尔代数等。
外代数: xy+yx=0forallx,yVxy+yx=0 for all x,y∈V
对称代数:运算vwwvvw - wv生成的理想的商
克利福德代数:
几何代数:
外尔代数:vuuv=ω(v,u)vu - uv = ω(v,u)

It is the quotient of the tensor algebra TV by the relation

克利福德(Clifford)代数

什么是克利福德代数:https://math.stackexchange.com/questions/261509/
1 scalar component
3 vector components
3 bivector components, which correspond to the 3 linearly independent planes in a 3d space
1 trivector or pseudoscalar component, which corresponds to the single, oriented unit volume in 3d space

几何代数(Geometric algebra)

是以统一模式生成的协变量代数。
数学是研究现实世界的"数"与"形"的科学.数学就是围绕这两个概念的演变而发展的,也通过这两个基本概念应用到各个不同的领域中去.代数是研究"数"的学科,几何是研究"形"的学科.数学科学发展的历程中两者彼此独立,又相互缠绕.几何(形)的概念用代数(数)表示,几何的目标可经过代数计算实现;反之,代数语言赋有了几何背景,可更加直观地理解它们的意义,发现它们的丰富内涵.吴文俊院士指出:几何代数化,在近代数学的兴起和发展过程中发挥着决定性的作用。
对于经典几何,有一类以统一模式生成的协变量代数,称为几何代数,它有四大基本成分:表示几何体的格拉斯曼结构;表示几何关系的克利福德乘法;表示几何变换的旋量或张量;表示几何量的括号。

多重线性映射(Multilinear)

covectors

[1]:(双)线性运算简单来说就是保持加法和标量乘法的运算。双线性运算特殊在它是二元运算,即二元线性运算:由于是二元运算,需要考虑左结合和右结合,对前后两个元都要是线性的,即双线性。
线性:f(x+y)=f(x)+f(y)\quad f(x+y) = f(x) + f(y)可加; f(ax)=af(y)f(ax) = af(y)齐次
    或者合在一起 f(ax+by)=af(x)+bf(y)f(ax+by) = af(x) + bf(y)
双线性:f(a1x1+a2x2,y)=a1f(x1,y)+a2f(x2,y)f(a_1x_1+a_2x_2, y) = a_1f(x_1,y) + a_2f(x_2,y)
 f(x,b1y1+b2y2)=b1f(x,y1)+b2f(x,y2)\qquad\quad~f(x, b_1y_1+b_2y_2) = b_1f(x,y_1) + b_2f(x,y_2)

https://www.zhihu.com/question/20695804/answer/43145198

代数:矢量代数线性代数

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