引力波频谱描述：Sh、Ω、hc

信号功率谱S_h、分数能量密度谱Ω、特征应变h_c

随机背景功率谱

对于随机背景信号 P 395
各向同性随机背景

$$h_{ab}(t,\vec{r}) = \sum_{P=+,\times} \int df \int d^2 \hat{n} \tilde{h}_P(f, \hat{n}) e^P_{ab}(\hat{n}) e^{-2\pi i f(t-\hat{n}\cdot \frac{\vec{r}}{c})}$$

$$\langle \tilde{h}_{ab}(f, \hat{n})~\tilde{h}_{ab}(f',\hat{n}) \rangle = \frac{\delta^2(\hat{n}, \hat{n}')}{4\pi} \frac{\delta(f-f')}{2} S_{ab}(f)$$

基于随机背景信号的平稳(及各向同性无偏振)假设，上述结果可由从维纳—辛钦(Winner-Khitchine)定理得到。方便起见，这里$h$不带下指标，可对应任意指标下的引力波取值。

$$\begin{aligned} \langle \tilde{h}^*(f) \tilde{h}(f') \rangle &= \iint \langle h^*(t) h(t')\rangle e^{-i 2\pi f t} e^{i 2\pi f' t'} dt dt' \\ &= \int e^{-i 2\pi (f-f') t'} dt' \int r (\tau) e^{i 2\pi f \tau}d\tau\\ &= \delta(f-f') \frac{1}{2} S_h(f) \end{aligned}$$

$$\langle \tilde{h}_P(f, \hat{n})~\tilde{h}_{P'}(f',\hat{n}) \rangle = \frac{\delta^2(\hat{n}, \hat{n}')}{4\pi} \delta_{PP'} \frac{\delta(f-f')}{2} S_P(f)$$

不同方位相互独立
不同极化模式相互独立：the assumption is valid if and only if one works in a polarization basis that diagonalizes the kinetic matrix of the theory.
稳态

$S_{+}(f) = S_{\times}(f) = S_h(f)$
$S_T(f) = S_{+}(f) + S_{\times}(f)$

$$\langle \tilde{h}_P(f, \hat{n})~\tilde{h}_{P'}(f',\hat{n}) \rangle = \frac{\delta^2(\hat{n}, \hat{n}')}{4\pi} \frac{\delta_{PP'}}{2} \frac{\delta(f-f')}{2} S_{T}(f)$$

$$\boxed{\langle \tilde{h}_P(f, \hat{n})~\tilde{h}_{P'}(f',\hat{n}) \rangle = \frac{\delta^2(\hat{n}, \hat{n}')}{4\pi} \delta_{PP'} \frac{\delta(f-f')}{2} S_h(f)}$$

分数能量密度谱

除功率谱之外$S_h(f)$，随机背景另一种常用的描述是分数能量密度谱$\Omega(f)$，代表单位对数频率间隔内的引力波能量密度占比：

$$\Omega(f) \equiv \frac{1}{\rho_c c^2}\frac{d\rho_{\tiny GW}}{d \ln f}, ~~~~ \rho_c = \frac{3 H_0^2}{8\pi G}$$

为建立功率谱与分数能量密度谱的关系，需要考虑引力波的有效能动张量。在广义相对论中，近似有：

$$t_{\mu\nu} = \frac{c^4}{32\pi G} \left\langle \left\langle \partial_\mu h_{\alpha\beta} \partial_\nu h^{\alpha\beta} \right\rangle \right\rangle$$

这里双尖括号为时空平均，其中引力波能量密度所对应的$t^{00}$在TT规范下为：

$$\rho_{\rm GW} = t^{00} = \frac{c^2}{32\pi G} \big\langle \dot{h}_{ab}(t)~\dot{h}^{ab}(t) \big\rangle$$

这里尖括号可理解为时间平均或空间平均，也对应于系综平均。考虑到分数能量密度谱的定义，有：

$$\big\langle \dot{h}_{ab}(t)~\dot{h}^{ab}(t) \big\rangle = 12 H_0^2 \int \Omega(f) ~ d \ln f$$

另一方面，考虑到随机背景引力波$h_{ab}(t, \vec{r})$以及$S_h(f)$的定义式：

$$\begin{aligned} \big\langle h_{ab}(t)~h^{ab}(t) \big\rangle &= 4 \int S_h(f) df\\ \big\langle \dot{h}_{ab}(t)~\dot{h}^{ab}(t) \big\rangle &= 4 \int (2\pi f)^2 S_h(f) df \end{aligned}$$

这里的4是因为(TT规范下)$h_{ab}h^{ab}$是4个分量求和，考虑到各向同性无偏振假设，所有分量强度相同，对应整体乘以4。最终：

$$\boxed{\Omega(f) = \frac{4\pi^2}{3H_0^2} |f|^3 S_h(f) }$$

注意，上述关系建立在引力波的有效能动张量$t_{\mu\nu}$之上，当前广义相对论下的$t_{\mu\nu}$表达式由Isaacson最先得到(1968)，被称为Isaacson’s formula。对超越广义相对论的理论，有效能动张量本身需要调整，最终$\Omega(f)$与$S_h(f)$的关系也将是理论依赖的，具体可参考 Isi & Stein (2018)。即便$t_{\mu\nu}$保持不变，仍需注意$\Omega(f)$是对所有分量求和，而$S_h(f)$仅对应单个分量，当有额外极化模式时，上述关系也将改变。

此外，注意不少文章中$S_h(f)$被定义为两种极化模式之和，对应上面的$S_T(f)$，尤其是地面引力波相关文章多采用这个约定，如 Abbott et al. (2018)，综述文章 Thrane & Romano (2013) 及 Romano & Cornish (2017) 也都是这种约定。这种约定下：

$$\Omega(f) = \frac{2\pi^2}{3H_0^2} |f|^3S_T(f)$$

但空间引力波多采用之前约定，如 Babak et al. (2021)、Auclair et al. (2023)。

PTA也是这种约定???

其它常见功率谱

上面的$S_h$是最常见的表述，但引力波随机背景的早期经典 Allen & Romano (1997) 中定义了另外两种功率谱，不做全天积分的功率谱$H(f)$和探测信号的功率谱$S(f)$(文中均采用双边谱)，也会出现在后续一些文章中，需要注意区分

• 不对偏振求和、不做全天积分的(双边)功率谱$H(f)$：

  $$\langle \tilde{h}^*_P(f,\hat{n}) \tilde{h}_{P'}(f',\hat{n}')\rangle = \delta^2(\hat{n},\hat{n}') \delta_{PP'} \delta(f-f') H_P(f)$$

  $$H(f) = \frac{1}{4\pi} ~\frac{1}{2} S_h(f), ~~~~ \Omega(f) = \frac{32\pi^3}{3H_0^2} |f|^3 H(f)$$

  Seto 相关文章中所使用的转换经常是这个公式。
• 探测信号的双边互功率谱$S_{ij}(f)$及自功率谱$S(f)$

  $$\langle \tilde{s}^*_i(f) \tilde{s}_j(f')\rangle = \delta(f-f') S_{ij}(f)$$

  $$S_{ij}(f) = \sum_P\Gamma^P_{ij} ~ \frac{1}{2}S_P(f) = 4\pi \sum_P \Gamma^P_{ij} H_P(f)$$

  其中$\Gamma^P_{ij}$为探测器间的重叠衰减函数(Overlap Reduction Function, ORF)，后面具体介绍。当各极化强度相同，可定义总体ORF $\Gamma_{ij} = \sum_P\Gamma^P_{ij} = \langle\mathcal{R}\rangle \gamma_{ij}$

  $$\small S_{ij}(f) = \langle\mathcal{R}\rangle \gamma_{ij} ~ \frac{1}{2}S_h(f) = 4\pi\langle\mathcal{R}\rangle \gamma_{ij} H(f), ~~~~ \Omega(f) = \frac{1}{\langle\mathcal{R}\rangle}\frac{8\pi^2}{3H_0^2} |f|^3 \frac{S_{ij}(f)}{\gamma_{ij}(f)}$$

  这里$\mathcal{R}$是探测器的响应函数，对于直角迈克尔逊其全天平均值$\langle\mathcal{R}\rangle=2/5$；$\gamma_{ij}(f)$为经过归一化的探测器重叠衰减函数，对相同位置指向的探测器对，其取值为1。对地基探测器而言，探测信号双边谱

  $$S(f) = \langle\mathcal{R}\rangle ~ \frac{1}{2} S_h(f) = \frac{1}{5} S_h(f) = \frac{8\pi}{5} H(f), ~~~~ \Omega(f) = \frac{20\pi^2}{3H_0^2} |f|^3 S(f)$$

  显然这里探测信号的功率谱$S(f)$是探测器依赖的，对于地基、空间以及PTA等各有不同，具体可参考 Mingarelli et al. (2019)。

注意：$\Omega(f)$默认为单边，而上述$H(f), S_{ij}(f), S(f)$，与 Allen & Romano 文中保持一致，均为双边。采用更常用的单边谱有：

$$H(f) = \frac{1}{4\pi} ~S_h(f), ~~~~ \Omega(f) = \frac{16\pi^3}{3H_0^2} |f|^3 H(f)$$

$$S(f) = \frac{2}{5} S_h(f), ~~~~~~~ \Omega(f) = \frac{10\pi^2}{3H_0^2} |f|^3 S(f)$$

特征应变振幅谱

除了$S_h(f)$及$\Omega(f)$，还有一个常见的物理量是特征应变强度谱$h_c(f)$，但其定义并不明确，常见的有两种表述

$$h^2_c(f) d\ln f = 8f \langle|\tilde{h}(f)|^2\rangle df ~~~{\rm v.s.}~~~ h^2_c(f) d\ln f = 2S_h(f) df$$

前者可参考 Flanagan & Hughes (1997) 及 Finn & Thorne (2000)，后者可参考 Maggiore (2000) 及 Thrane & Romano (2013)。虽然大致都理解为单位对数频率间隔内的引力波等效振幅，但前者随积分时间增加而增加，是累积振幅，后者则不随积分时间改变。 300 Hundred Years of Gravitation (1989) 中 Kip Thorne 还给了另一种对频率积分后的$h_c$定义(P369)，不太常见，这里不做介绍。

两种定义的主要区别在于：对并和等持续时间相对短暂的信号，通常保持探测灵敏度曲线固定，调整信号的累积强度；对于连续引力波或随机背景等持续信号，则通常保持信号强度不变，调整探测器灵敏度曲线。因此，前一定义常用于旋进并和信号，后一定义则常出现在PTA对引力波随机背景的探测。

这里重点关注前一种，其定义源自信噪比公式(Finn & Thorne, 2000)：

$$\langle\rho^2\rangle = 2\int_0^\infty \frac{\left\langle|\tilde{s}(f)|^2\right\rangle}{\frac{1}{2}N(f)} df \equiv \int \left[\frac{h_c(f)}{h_n(f)}\right]^2 d\ln f$$

这种形式下，对数对数图中，SNR大致正比于$\ln h_c(f)$与$\ln h_n(f)$曲线间面积。其中噪声部分：

$$h_n(f) \equiv \sqrt{\frac{2 f N(f)}{\langle\mathcal{R}\rangle}} = \sqrt{\frac{f N(f)}{\langle F^2_+ \rangle}}$$

对地基探测器$\langle\mathcal{R}\rangle\sim 2/5, h_n \sim \sqrt{5 f N(f)}$。对应的信号部分：

$$\left\langle|\tilde{s}(f)|^2\right\rangle \sim \langle F^2_+ \rangle \left\langle|\tilde{h}_+(f)|^2 + |\tilde{h}_\times(f)|^2 \right\rangle \sim \left\langle F^2_+ + F^2_\times \right\rangle \langle|\tilde{h}(f)|^2\rangle$$

而根据稳相近似：

$$\langle \tilde{h}(f)\rangle = \frac{1}{2} \dot{f}^{-1/2} h_o[t(f)], ~~~ h_o[t(f)] \equiv \sqrt{\langle h^2_+(t, \hat{n}) + h^2_\times(t, \hat{n})\rangle}$$

$h_+, h_\times$为震荡信号，平方平均时会出一个$1/2$，因此$h_o[t(f)]$大致就对应引力波信号角平均的振幅。最终，特征应变强度$h_c(f)$表达式为：

$$h_c(f) = \sqrt{ 8f^2 \langle|\tilde{h}(f)|^2\rangle} = \sqrt{\frac{2f^2}{\dot{f}}}h_o[t(f)] \sim \sqrt{N_{\rm cycles}}~ h_o[t(f)]$$

这里$\tilde{h}(f)$为单个极化模式的(平均)振幅，如果定义为两种极化模式平方求和开根号$\small \sqrt{\langle|\tilde{h}_+(f)|^2 + |\tilde{h}_\times(f)|^2 \rangle}$，则特征应变$h^2_c(f) = 4 f^2 |\tilde{h}(f)|^2$，与 Moore et al. (2015) 中一致。注意，时域的$h(t)$无量纲，对应频域$\tilde{h}(f), S_h(f)$均为时间量纲，而这里定义的特征应力振幅$h_c(f), h_n(f)$则重新变为无量纲。

常用谱总结对比

综合最常用的三种表述，对比如下：

• 功率谱密度：$S_h(f)$ 单位频率间隔内的引力波功率(默认为单边谱)

  $$S_h(f)\sim 4\pi\frac{2}{T_{\rm obs}}\left|\tilde{h}(f)\right|^2,~~~ H(f) \sim \frac{2}{T_{\rm obs}}\left|\tilde{h}(f)\right|^2$$

• 分数能量密度谱：$\Omega(f)$ 单位对数频率间隔内的引力波能量密度占比

  $$\Omega(f) = \frac{4\pi^2}{3H_0^2} |f|^3 S_h(f)$$

• 特征应变强度谱：$h_c(f)$ 单位对数频率间隔内的引力波(累积)等效振幅

  $$h^2_c(f) = 8f^2 \langle|\tilde{h}(f)|^2\rangle ~~~{\rm v.s.}~~~ h^2_c(f) = 2 f S_h(f)$$

注意，Moore et al. (2015) 中有各种表述的综合对比，是相对常引用的一篇文章，但其内容有点混乱：其一，文中引力波探测信号$s(t) = F_+h_+ + F_\times h_\times$与引力波信号混用，从而探测信号的功率谱与引力波功率谱混淆不明，转换时未考虑响应函数；其二，强行将$h_c$的两种定义划等号，但如前所述，两种定义并不兼容，使用时需格外小心。

从匹配滤波灵敏度角度理解，并和信号的$S_h, \Omega$只具有形式上的意义，物理上与随机背景相关的量并没有关系！但此时绘制在同一张灵敏度曲线图上的随机背景该如何表示？$\sqrt{T f S_h(f)}$？

$$\begin{aligned} &\int_0^\infty \frac{4 f^2(|\tilde{h}_+(f)|^2+|\tilde{h}_\times(f)|^2)}{2 f N(f)/\langle\mathcal{R}\rangle} d\ln f \equiv \int_0^\infty \left[\frac{h_c(f)}{h_n(f)}\right]^2 d\ln f\\ &= \int_0^\infty \frac{4 f(|\tilde{h}_+(f)|^2+|\tilde{h}_\times(f)|^2)}{2 N(f)/\langle\mathcal{R}\rangle} d\ln f \equiv \int_0^\infty \frac{S_h(f)}{S_n(f)} d\ln f\\ &= \int_0^\infty \frac{ \frac{2\pi^2|f|^3}{3H_0^2} ~ 4 f(|\tilde{h}_+(f)|^2+|\tilde{h}_\times(f)|^2)}{\frac{2\pi^2|f|^3}{3H_0^2} ~ 2 N(f)/\langle\mathcal{R}\rangle} d\ln f \equiv \int_0^\infty \frac{\Omega_h(f)}{\Omega_n(f)} d\ln f\\ \end{aligned}$$