代数

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接前文代数结构简介，本文继续介绍代数，不同的是本文中代数特指域代数。
通常人们讲代数指的就是域代数或有单位元的域代数。
线性代数、域代数、多线性代数

域代数(Algebra over a Field)的概念是建立在域(Field)及线性空间概念之上的。
域：
线性空间V：线性空间即向量空间，是域F上的一个集合，其中定义了向量加法和标量乘法两种运算，向量加法满足结合律、交换律、单位元、可逆性，而标量乘法与标量的域乘法相容a(bα)=(ab)αa(bα) = (ab)α、有单位元、对向量加法及标量的域加法满足分配律。

域代数

域代数是线性空间再加上一个双线性(bilinear)运算(乘法)注1，是定义在特定域KK上的，因此也称KK-代数。具体的，域代数AA是域KK上的一个集合，其中定义了加法、乘法以及和域KK中元素的标量乘法三种运算，满足线性空间及双线性的公理：AA对于加法和标量乘法构成域KK上的线性空间；乘法与加法满足左右分配率：(α+β)⋅γ=α⋅γ+β⋅γ,  γ⋅(α+β)=γ⋅α+γ⋅β(α+β)·γ = α·γ + β·γ,\space\space γ·(α+β) = γ·α + γ·β；乘法与标量乘法及标量的域乘法相容：(aα)⋅(bβ)=(ab)(α⋅β)(aα)·(bβ) = (ab)(α·β)。后面两条即乘法是双线性的。
这里乘法无需满足结合律、交换律、有单位元、逆元等公理。
(非)结合代数：根据乘法是否满足结合律可分为结合代数和非结合代数。比如三维欧氏空间中的叉乘就不满足结合律，而矩阵的乘法满足结合律。
酉代数：如果乘法有单位元，则称为酉(unital/unitary)。
很多时候，人们会直接用代数指代酉结合代数，或者酉交换结合代数(代数几何中)。

Replacing the field of scalars by a commutative ring leads to the more general notion of an algebra over a ring.

域代数的概念可以进一步扩展：
线性代数、域代数、多线性代数

具体实例

线性映射(linear mapping)是两个线性空间之间保持线性运算(加法和标量乘法)的映射V→WV → W。当V=WV=W，

is a mapping V → W between two modules (including vector spaces) that preserves (in the sense defined below) the operations of addition and scalar multiplication.

Linear transformations of V into V are often called linear operators on V

线性空间VV加上内积得到的是内积空间而不是代数，因为这里的内积不满足封闭性，内积的结果属于域KK而非线性空间VV，因此不是代数AA上的乘法。类似的，外积(张量积和楔积)也不满足封闭性，对于线性空间VV：向量的张量积不属于VV，但一定属于T(V)T(V)，因此VV加上张量积不能构成代数，但空间T(V)T(V)加张量积构成张量代数；向量的楔积不属于VV，但一定属于Λ(V)Λ(V)，因此VV加上楔积不能构成代数，但空间Λ(V)Λ(V)加楔积构成外代数。

线性代数

线性映射(linear mapping)是从一个线性空间VV到另一个线性空间WW保线性(保持加法运算和数量乘法运算)的映射；而空间VV到其自身的线性映射(满足封闭性)被称为线性变换(linear transformation)。线性空间加上线性变换构成线性代数。

线性泛函(一次型)

李代数

Lie groups, algebras, brackets

  • 线性群/矩阵群：线性变换构成的群
    在线性空间中可以定义线性变换，线性空间中的线性变换也构成“群”，这类群在物理上有广泛应用。一般地，定义在域FF上的nn维线性空间VV中所有可逆的线性变换构成一般线性群(General linear group)：

    GL(V)≡{V↦V的所有可逆线性变换}{\rm {\rm GL}}(V) \equiv \big\{ V \mapsto V \text{\footnotesize 的所有可逆线性变换} \big\}

    特别的，当V=FnV=F^n，对于给定的基矢，线性变换可表示为n×nn \times n的矩阵，矩阵元素来自域FF。因此等价地，域FF上所有n×nn \times n可逆矩阵关于矩阵乘法构成一般线性群，简记为GL(n,F){\rm {\rm GL}}(n, F)，常见的如实数/复数域的一般线性群GL(n,R),  GL(n,C){\rm GL}(n, \R), ~~{\rm GL}(n, \Complex)。
    一般线性群GL(n,F){\rm {\rm GL}}(n, F)及其子群统称为线性群或矩阵群。特别地，其中一类特殊子群被称为特殊线性群(Special linear group) SL(n,F){\rm SL}(n, F)，其特殊之处在于要求线性变换矩阵行列式为1，也即一般线性群的不变子群或正规子群。
    • 正交群：正交变换的群

      O(n)≡{Q∣Q∈GL(n,R),  QTQ=QQT=In×n}O(n) \equiv \big\{ Q|Q \in {\rm GL}(n, \R), ~~ Q^TQ = QQ^T = I_{n\times n}\big\}

      事实上，正交群O(n,F)O(n, F)并不局限于实数域，但实数域最常用，因此在不引起误会前提下，通常将O(n,R)O(n, \R)简记为O(n)O(n)。
      正交变换保持向量长度和夹角：vTw=vTQTQw=(Qv)T Qwv^T w = v^T Q^TQ w = (Qv)^T ~ Qw，常见的如向量的镜像变换、坐标置换。
    • 幺正群：幺正变换的群

      U(n)≡{U∣U∈GL(n,C),  U†U=UU†=In×n}U(n) \equiv \big\{ U|U \in {\rm GL}(n, \Complex), ~~ U^\dagger U = U U^\dagger = I_{n\times n}\big\}

      幺正变换是正交变换的复域推广，因此有类似性质，即保持向量长度和夹度。
    • 特殊群：特殊(行列式为1)的正交/幺正群

      SO(n)≡{Q∣Q∈O(n),   det⁡(Q)=1}SO(n) \equiv \big\{ Q|Q \in O(n), ~~~ \det(Q) = 1\big\}

      SU(n)≡{U∣U∈U(n),   det⁡(U)=1}SU(n) \equiv \big\{ U|U \in U(n), ~~~ \det(U) = 1\big\}

      注意，正交矩阵本身行列式为±1\pm 1，幺正矩阵行列式为单位复数(模为1)。特殊正交/幺正群要求行列式取11，排除了行列式取-1/其它单位复数情况。几何地，可理解为除长度、夹角之外，特殊正交/幺正群还保持相对方位(orientation)。具体地，向量镜像变换行列式为−1-1，因此不属于SO(n)SO(n)，而向量旋转变换行列式为11，属于SO(n)SO(n)。
    • 洛伦兹群

      O(p,q)≡{Λ∣Λ∈GL(p+q,R),  ημνΛ  ρμΛ  σν=ηρσ}O(p, q) \equiv \big\{ \Lambda|\Lambda \in {\rm GL}(p+q, \R), ~~ \eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{~~\rho}\Lambda^\nu_{~~\sigma} = \eta_{\rho\sigma}\big\}

      其中η=diag(1,…,1⏟p,−1,…,−1⏟q)\eta=\mathrm{diag}(\underbrace{1,\ldots ,1}_{p}, \underbrace{-1,\ldots ,-1}_{q})为单位对角的不定阵(indefinite matrix)，相应的O(p,q)O(p,q)被称为不定正交群。当p=1,q=3p=1, q=3就对应于洛伦兹变换所构成的洛伦兹群O(1,3)O(1,3)。

多重线性代数

多线性代数
multivector
p-vector
bivector

Linear Map f:V→Wf: V \rightarrow W
Multilinear Map f: V^n^ \rightarrow W n=2n=2, bilinear; n=3n=3, trilinear

外代数

张量代数

The tensor algebra T(V) is a functor from K-Vect, the category of vector spaces over K, to K-Alg, the category of K-algebras.
T(V) is the free algebra on V, in the sense of being left adjoint to the forgetful functor from algebras to vector spaces: it is the “most general” algebra containing V, in the sense of the corresponding universal property.
张量代数是从KK上线性空间范畴到KK-代数范畴的一个函子，是遗忘函子(K-代数→\rightarrow线性空间)的左伴随，是VV上的自由代数wiki；其满足某些泛性质(universal property)，是包含VV的最具一般性的代数。很多其他代数都可以通过构造张量代数的商(quotient)代数得到，如外代数、对称代数、克利福德代数、几何代数、外尔代数等。
外代数： xy+yx=0forallx,y∈Vxy+yx=0 for all x,y∈V
对称代数：运算vw−wvvw - wv生成的理想的商
克利福德代数：
几何代数：
外尔代数：vu−uv=ω(v,u)vu - uv = ω(v,u)

It is the quotient of the tensor algebra TV by the relation

克利福德(Clifford)代数

什么是克利福德代数：https://math.stackexchange.com/questions/261509/
1 scalar component
3 vector components
3 bivector components, which correspond to the 3 linearly independent planes in a 3d space
1 trivector or pseudoscalar component, which corresponds to the single, oriented unit volume in 3d space

几何代数(Geometric algebra)

是以统一模式生成的协变量代数。
数学是研究现实世界的"数"与"形"的科学.数学就是围绕这两个概念的演变而发展的,也通过这两个基本概念应用到各个不同的领域中去.代数是研究"数"的学科,几何是研究"形"的学科.数学科学发展的历程中两者彼此独立,又相互缠绕.几何(形)的概念用代数(数)表示,几何的目标可经过代数计算实现;反之,代数语言赋有了几何背景,可更加直观地理解它们的意义,发现它们的丰富内涵.吴文俊院士指出:几何代数化,在近代数学的兴起和发展过程中发挥着决定性的作用。
对于经典几何，有一类以统一模式生成的协变量代数，称为几何代数，它有四大基本成分：表示几何体的格拉斯曼结构；表示几何关系的克利福德乘法；表示几何变换的旋量或张量；表示几何量的括号。

多重线性映射(Multilinear)

covectors

[1]：(双)线性运算简单来说就是保持加法和标量乘法的运算。双线性运算特殊在它是二元运算，即二元线性运算：由于是二元运算，需要考虑左结合和右结合，对前后两个元都要是线性的，即双线性。
线性：f(x+y)=f(x)+f(y)\quad f(x+y) = f(x) + f(y)可加; f(ax)=af(y)f(ax) = af(y)齐次
　　　　或者合在一起 f(ax+by)=af(x)+bf(y)f(ax+by) = af(x) + bf(y)
双线性：f(a1x1+a2x2,y)=a1f(x1,y)+a2f(x2,y)f(a_1x_1+a_2x_2, y) = a_1f(x_1,y) + a_2f(x_2,y)
 f(x,b1y1+b2y2)=b1f(x,y1)+b2f(x,y2)\qquad\quad~f(x, b_1y_1+b_2y_2) = b_1f(x,y_1) + b_2f(x,y_2)

https://www.zhihu.com/question/20695804/answer/43145198

代数：矢量代数、线性代数