为什么 π² ≈ g

History of the metre
How Did The Meter Get Its Length?
How did the meter acquire its definitive length?
A wonderful coincidence or an expected connection: why π² ≈ g.

$\pi^2 ≈ g$ 是中学物理一个常用的估算技巧。当然它们并不完全相等，在量纲上更是毫不相干：$π$ 是一个无量纲的超越数，而 $g$ 是一个带有单位的物理常数。要如何理解两者之间的这种巧合呢？

如前面所述，$π$ 无量纲，而 $g \sim 9.81 \rm m/s^2$ 有单位。等式成立的前提是 $g$ 的单位必须取“$\rm m/s^2$”，任何其它的单位都会打破等式，比如长度单位取千米、英寸、尺 或时间单位取分钟、小时。由此可见，两者之间的巧合大概率与“米”以及“秒”本身有关。

“米”的现代定义由光速和秒确定：真空中，光在 1/299,792,458s 内所行进的距离。看起来跟 $π$ 毫无关系，因为这并非“米”的最初定义，这也是为什么会有 299,792,458 这样一个奇怪的数字。历史上，长度多以人体作为计量标准，无论是中国的尺、寸，或是西方的英尺、码。17世纪初，伽利略 Galileo 观察到单摆的周期取决于其摆臂长度，此后诸多天文物理学家对单摆进行了大量研究，并逐步设计出曾经广泛使用的“摆钟”用于计时。在此期间，17世纪中后叶，“秒摆”的摆臂长度开始被提议作为标准长度单位，被称为“Rayon Astronomique”(天文半径)或“metro cattolico”(通用标尺)。

所谓“秒摆”，是指周期为 2s 的单摆（单向摆动时间 1s ）。对于小幅摆动的单摆，其周期与摆臂长度关系为：

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

对于周期 2s 的摆，$g = l \pi^2$，而如果臂长被定义为1m，则$g = \pi^2$。这就是我们要找的答案，一切的巧合都源于此。基于“秒摆”的长度标准看起来简单方便，但其实人们很快就发现了问题，不同地方的秒摆定义出来的长度标尺存在差异，具体长度会因纬度而异。

到了18世纪末，法国大革命期间，人们着手对度量标准做出改革，传统计量单位被统一为基于自然现象的全新标准。此时，“秒摆”仍是长度基准的头号备选提案，而考虑到不同纬度的问题，标准提议了一个特定的“法国单摆”（北纬45°、真空、水平面、融冰温度）。另一方面，此时新的度量标准只包含距离和质量，时间上的“秒”还没有统一的标准，人们甚至考虑使用秒摆在一天的摆动次数来绕开秒的定义。

另外两个选择是赤道四分之一的千万分之一，以及巴黎子午线四分之一(北极到赤道长度)的千万之一。三个方案的具体数值经过检验，大致相当。赤道选项很快被否决，因为赤道远离法国，测量操作繁琐昂贵，且相比经线并没有额外收益。而经线方案成为最终的标准，尽管实际操作难度相比“秒摆”显然要高很多。

科学委员认为以地球本身为度量基准的长度定义更为自然，测量过程与日常所使用测量方法一致，且不依赖其它单位。在此之前，科学家已经完成了部分测量，据此法国制作了临时标准尺，在完整测量完成后，人们又用铂金制作了标准米尺，存放于法国国家档案馆，被称为 Mètre des Archives (档案米)。