星星与沙子

There are more stars in the Universe than there are grains of sand on all the beaches on Earth. ——Carl Sagan
天上的星星与地上的沙子，到底哪个多？

有多少星星

根据暴涨理论，人们所能观测的只是宇宙的一部分，我们的讨论也将只局限于可观测的宇宙。天上有多少星星，天文学中有现成的结果：根据Hubble观测推断(2016)，可观测宇宙中有数以万亿(10¹²)的星系；而每个星系中平均约有数以千亿(10¹¹)的恒星，从而宇宙中有10²³量级的恒星。这个量级正好对应于阿伏伽德罗常数，换句话说：宇宙中约有1摩尔的恒星，突然感觉好少啊😂。

作为对照，从质量角度考虑：恒星质量大多为0.1~100太阳质量，近似可取太阳质量为典型值；可观测宇宙的普通物质质量约为10⁵³kg，刚好10²³的太阳质量。不过这其中大部分是星际及星系际介质(气体与尘埃)，恒星所包含的质量只占约1/10，从而恒星数量为10²²，比上面小了一个量级，但估算浮动一个量级还算可接受。

最后，根据维基百科所提供的估算，可观测宇宙的恒星数为10²²到10²⁴，同样在10²³上下浮动。综上，天上的星星大致接近1摩尔。

有多少沙粒

地上有多少沙子？并没有统一的结论。网上更常见的是对全部海岸沙滩中沙子的估计，大概就是因为Sagan的那句话😄，估计的结果也差别很大，有说10¹⁸，也有说10²¹。这是一个典型的费米问题，下面尝试做下估计。
在讨论之前，首先定义下“沙子(sand)”，根据维基，国际标准ISO对沙子的定义为颗粒尺寸0.063mm到2mm，再小就是泥土(slit)，再大就是砾石(gravel)。我们取几何平均，沙粒平均尺寸约0.3mm。简单假设沙粒都是球形，密堆积的堆积系数(空间利用率)为0.74，近似为3/4。从而，1立方米的体积中的沙粒数目有3x10¹⁰。
现在考虑沙子在地球上的分布：

• 沙漠
  沙漠有多大：Google可知陆地占约地球表面1/3，而沙漠又占陆地的1/3，从而沙漠约为地球面积的1/10。地球面积为5x10¹⁴m²，由此可得沙漠面积为5x10¹³m²。
  不过这里所谓的沙漠(Desert)指的其实是荒漠，包括了岩石、砾石、冰原等各种地形，其中占比最大的就是南北极的冰原，而不仅仅是通常理解的沙漠(Erg)，即便撒哈拉沙漠大部分区域也是砾石。根据这里的说法，只有1/10的沙漠被沙丘覆盖，我们近似取沙子覆盖的沙漠占1/5，从而面积为10¹³m²。
  沙漠有多深：沙漠(Erg)的沙层厚度从几厘米到几十米不等，我们取几何平均1m。
  从而沙漠中沙子体积为10¹³m³，对应于沙子数目3×10²³

• 海滩
  海滩有多大：Google可知海岸线的长度为6x10⁸m，约地球周长的16倍。假设海滩平均延伸50m，则海岸线面积约为3x10¹⁰m²。考虑到海岸中相当一部分是岩石、沼泽、泥滩等地形，而非真正的沙滩。我们近似假设海滩占1/3，则面积为10¹⁰m²。
  沙层多有深：根据具体的环境而不同，在沉积与凝结的共同作用，沙层厚度从几厘米到几十米不等，几何平均可取约3m。
  从而海滩中沙子体积为3x10¹⁰m³，对应于沙子数目10²¹，比沙漠小了两个量级。即便考虑沙层10m，依然比沙漠小两个量级。

• 河底
  河流分支众多，估算河流面积不能仅考虑河流长度，似乎很难下手。不过河沙预期会比沙漠小一个量级，因此不会影响结果。我们也可以乐观的粗略估计如下：假设将河里的沙子全部挖出来，可以在周围陆地铺1cm厚的一层，除去荒漠的陆地面积为地球表面的1/5，从而沙子体积为10¹²m³，对应沙子数量3x10²²，比沙漠小一个量级。

• 海底
  虽然海洋面积广阔，不过考虑到在深海的巨大压力下，沙子应该会很快凝结，因此预期不会存在大面积沙丘。而在近海海域，可能存在大量沙子，比如台湾海峡的海底沙漠。我们同样简单假设海底的沙子可以在整个海底铺1cm厚的一层，海洋面积占地球表面2/3，从而海洋中沙子的体积为3.4x10¹²m³，对应于沙子数目10²³，与沙漠大致在同一个量级。

综上，地上的沙子数量也在10²³量级，约1摩尔。不过上述估计有很多不确定性，其中一个关键的参数是沙粒尺寸，计算中我们取上下限0.06mm与2mm的几何平均0.3mm，这通常是一个很好的估计。但如果假设细小的沙粒更多，平均取0.1mm，则沙子数量变为原先估计的27倍。

到底是谁多

天上的星星与地上的沙子一样多，都大约有1摩尔。不过 Carl Sagan 说的也没错，天上的星星要远多于海滩的沙子。

参考链接
How many grains of sand are there in the world?
How Many Grains of Sand are on Earth’s Beaches?
Which Is Greater, The Number Of Sand Grains On Earth Or Stars In The Sky?