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1+1=2

从小就一直听说陈景润证明了1+1=2,一直不明觉厉,完全不知道是什么意思…
当然其实我也并没有尝试去理解过,最近看到知乎上的回答,大致了解了点皮毛

开宗明义,首先所谓陈景润证明了1+1=2是错误的,陈景润证明的是1+2,而非1+1,更非1+1=2。
其次这个1+2是数论领域的一个特殊记号,是哥德巴赫猜想的简写,而并非我们认识的四则运算:注意是1+2,而非1+2=3。
而要理解这个问题,一切都要从素数说起。

奇妙的素数

素数也称质数,是指除了1和它本身之外,无法被其他自然数整除的数(无其他因数),与之相对的是合数。而现代定义中还还排除了1。

素数可以说是自然数的骨架,
算术基本定理(唯一分解定理)表明任何大于1的自然数都可以表示为素数的乘积,并且这种乘积的形式是唯一的,
把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究

素数就是自然数空间的“基矢”。而素数看似在自然数中杂乱分布,其中却又有规律可寻,令无数数学家着迷。

因为所有合数都可以表示为素数的乘积,

素数的搜寻

为了研究素数的分布规律,首先要找到足够的素数供研究。早在公元前300年,古希腊数学家欧几里得就在《几何原本》中证明了素数有无数个,从此人们开始了寻找素数公式的历程。

确定性算法–试除法(筛法);
随机算法(例如,AKS质数测试算法:多项式时间内检验)。

早在公元前300年,古希腊数学家欧几里得就在《几何原本》中证明素数有无穷多个,而其中一些素数可以写成2n-1的形式,其中n也是一个素数。17世纪法国数学家马林·梅森对2n-1形式的素数进行过深入研究,成果卓越,后人将这一型的素数称为“梅森素数”。人们一直在不断寻找更大的素数,计算机的出现极大了方便了人们对素数的搜寻,然而数值越大素数出现的概率也越低,搜寻也愈加困难,即便有计算机的帮助也依然艰难。梅森素数便给了人们一种相对便捷的途径,目前发现的最大素数便是一个梅森素数:277232917-1 (2017年12月26),还被一家出版社打印来,作为一本720页的书贩卖😂。这是人们发现的第50个梅森素数,距离上一个梅森素数已过去了2年时间。

通过持续不断的计算和观察分析,数论研究者们发现了很多奇妙的分布规律。比如,显然的除了2和5,素数都必须以1、3、7、9结尾(不然就会被2或5整除)。于是人们便推测这四个数字结尾出现的概率大致均等,统计的结果也符合这一猜想。但随着更深入的研究,人们发现虽然四个尾数的总体概率均等,但在素数后跟随的素数中,四个尾数出现的概率却并不均等,而是明显更偏爱尾数与自己不同的素数。这表明相邻素数之间并非完全独立不相关,而是存在某种未知的内在关联。而当素数趋于无穷时,这种“偏爱”会渐渐消失,分布更趋向于完全随机。这些分布规律中比较出名的有素数定理、孪生素数猜想、黎曼猜想等。

素数定理

不超过x的素数的个数近似为x/ln(x)

素数定理由高斯和勒让德在大致同一时间分别独立提出。

最终在约一个世纪后(1896年)被两位年轻的数学家分别独立的给出证明。随后在1949年,另外两位年轻的数学家Selberg和Erdos又分别独立给出了素数定理的初等证明(不借助高等数学)。

素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势。

孪生素数猜想

数学家希尔伯特在1900年国际数学家大会的著名报告中
存在无穷多个素数p,使得p + 2是素数
素数对(p, p+2)称为孪生素数
1849年,波利尼亚克(Alphonse de Polignac)提出了更一般的猜想:对所有自然数k,存在无穷多个素数对(p, p+2k)。k=1的情况就是孪生素数猜想。

素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势。而孪生素数,与素数一样,也有相同的趋势,并且这种趋势比素数更为明显。

黎曼假设

大学时在一本科普书籍中了解过黎曼假设,只知道作者将黎曼ζ函数吹得很高,但我却没能理解到底是什么。

以黎曼公式为中心,高斯公式为上限的正态分布

黎曼猜想是说素数及其方程的解是不是都分布在一条直线上,

扯远了,回到本文主题上了,自然数都可以表示为素数的乘积,那自然数是否都能表示为两个素数的和呢。答案并不显然,因此数学家做了大胆的猜测,这便是著名的哥德巴赫猜想。

哥德巴赫猜想

1742年,哥德巴赫在给欧拉的信中提出了两个大胆的猜想:

  1. 任何偶数,都可以是两个质数之和(如:4=2+2);

  2. 任何奇数,都可以是三个质数之和(如:7=2+2+3)。

  3. 任何不小于4的偶数,都可以是两个质数之和(如:4=2+2);

  4. 任何不小于7的奇数,都可以是三个质数之和(如:7=2+2+3)。

任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。哥德巴赫自己无法证明它,于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明,但是一直到死,欧拉也无法证明。哥德巴赫猜想与费马猜想、四色猜想并称三大数学猜想。后两者分别于1994、1976年被证明,而前者至今尚未解决,目前最好的成果是中国数学家陈景润于1966年取得。

因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定,原初猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立,即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和,或是一个素数和一个半素数的和"。
今日常见的猜想陈述为欧拉的版本,即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和,亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。
从关于偶数的哥德巴赫猜想,可推出:任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的,则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决,但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和,也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。

任一大于2的偶数都可写成两个质数之和

自然数中有一类比较特殊的数叫素数

任何大于

陈景润证明的是关于素数的性质,而与我们通常理解的四则运算无关。

皮诺亚公理

既然陈景润证明的是数论的1+2,那我们常说的四则运算1+1=2呢,不证自明?还是也需要证明?
答案是需要证明,因为它取决于我们对自然数及加法的定义,改变这些基础的定义,结果也就将不同。那我们是如何定义自然数的呢,这就是1889年皮亚诺提出的算术公理系统,又称皮诺亚公理。具体的可以参考为什么需要证明「1+1=2」?如何证明一加一等于二?

粗略来说,我们选择了一个单向无限延伸的有序数列作为自然数(I-IV),并确保数学归纳法在其上成立(V.归纳公理)。有了自然数的定义后,再在其上定义加法运算:加法是利用皮诺公理中的后继数的概念定义的。有了自然数和加法两个基础,我们就可以非常显然地看出1+1=2了。
数学归纳法成立确保了自然数之间间隔固定为1,而不会出现1.3,2.5等。

我们回过头再来看,其实“自然数”是原始人类在生产生活中自然产生的概念,而皮亚诺公理则出现在数千年之后。所以1+1=2本身是人类“自然”的直觉认知,而皮亚诺公理则是数千年后人们对这种直觉认知的公理化描述。就如同人们“自然”的认识到我们所处的世界中两点之间直线段最短,而后欧几里得对这种直觉做出了公理化描述,建立了欧氏几何。

所以这些直觉的命题之所以成立,是因为我们选择了对应的公理。那如果我们改变这些公理呢?
改变欧氏几何的基本公理,可以得到广阔的非欧几何,两点间直线段不一定最短,比如黎曼几何。
而改变对自然数(数集)及加法(运算)的定义,同样将拓展出丰富的代数结构,如线性空间。

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