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关于学习

最近整理线性代数知识,意识到人们对于矩阵等概念理解的巨大差距,有感而发。

大学期间,虽然不是数学专业,但线性代数课程是跟数学系一起上的,学的《高等代数与解析几何》,也遇到了比较好的老师和助教,因此虽然没有进一步学习后续更高深的抽象代数等内容,对代数学的理解比不上数学专业,但相比大多非数学专业还是要要深刻不少。对于矩阵的理解更是直接从线性空间、线性变换出发,而不是局限在矩阵本身的简单运算。

最近整理线性代数知识,在网上搜索资料时,发现人们对于线性代数概念理解存在巨大的差距:一部分人费了老大劲试图理解矩阵的意义,甚至有专门的书去一点点解释几何意义;而另一部分人则比我理解的还要深刻,简单几句话就让人豁然开朗。这里面固然有智力的差距,但我想说的不再于此,而且我也不认为这就是根本的原因。

我想说的是:当你花费很大精力尝试去完全理解掌握某个知识点时,如果能把这些精力拿出一部分来了解一下更高层次、更抽象的知识,然后再回头看自己面对的相对具体的知识点时,往往会豁然开朗。举个最浅显的例子:小学生在刚学习四则运算时,需要花大量的时间去理解这些基本的操作,什么是进位余数小数…但即使那些掌握的不好(升级成绩差)的学生,在学习更复杂知识后,再回头看这些运算,应该也都是很显然了。这个例子也许不太恰当,因为儿童的大脑还在成长发育。再举一个大学生的例子:学习了无穷级数后再回头看中值定理,会发现这就是泰勒展开的一阶近似而已;而理解了线性变换后再来看矩阵,会发现矩阵就是线性空间的线性变换在选定基矢量后的具体表现而已,而不单单是一组矩形排列的数字。

我认为这就是抽象思维的威力,当你了解学习更抽象的、更高层次的知识后,再去看相对具体、低层次的问题时,可以说是降维打架:一些以前难以理解的问题在更高层次下看变得不证自明。这并不是智力的差异造成的,你只是需要花费时间和精力去了解那些你不曾了解的抽象概念。这种抽象的思维框架显然是越早建立也好,但是也并不是说要一口吃个胖子,直接去学习最抽象的,因为人的思维是逐步成长的,学习是需要循序渐进的;需要的做是把眼界放的宽一点,尝试了解一些更抽象的数学工具来帮助理解具体的问题。感觉一门抽象数学的通识课程对于物理、计算机等科学会是有很大益处。

最后,一个关键的问题是,学习更抽象的知识是很花费时间的,而在这个快节奏的社会,处于底层的我们大多情况下没有这样的时间,而是会被要求去快速的了解某些非常具体的知识,并投入应用,机会是不等人的。现在真的越来越怀念大学泡图书馆的时光了。

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